面试算法代码知识梳理系列
面试算法知识梳理(1) – 排序算法
面试算法知识梳理(2) – 字符串算法第一部分
面试算法知识梳理(3) – 字符串算法第二部分
面试算法知识梳理(4) – 数组第一部分
面试算法知识梳理(5) – 数组第二部分
面试算法知识梳理(6) – 数组第三部分
面试算法知识梳理(7) – 数组第四部分
面试算法知识梳理(8) – 二分查找算法及其变型
面试算法知识梳理(9) – 链表算法第一部分
面试算法知识梳理(10) – 二叉查找树
面试算法知识梳理(11) – 二叉树算法第一部分
面试算法知识梳理(12) – 二叉树算法第二部分
面试算法知识梳理(13) – 二叉树算法第三部分
一、概要
本文介绍了有关数组的算法第二部分的Java代码实现，所有代码均可通过 在线编译器 直接运行，算法目录：
- 找到最小的
k个数 - 连续子数组的最大和
- 连续子数组的最大和（二维）
- 求数组当中的逆序对
二、代码实现
2.1 找到最小的 k 个数
问题描述
即寻找一列数中最小的k个数
解决思路
利用最大堆的特点，加入我们对一个长度为N的数组p的前k个元素进行建堆操作，那么p[0]为p[0,..,k-1]的最大值，之后再对p[k,..,N-1]依次遍历：
- 如果
p[i]小于p[0]，那么就说明它属于p[0,..,i]最小的K个元素之一，而p[0]则一定不属于p[0,..,N-1]的最小的k个元素，此时将p[i]和p[0]交换，重新对[0,..,N-1]的部分进行建堆操作 - 如果
p[i]大于等于p[0]，那么就说明p[i]一定不属于p中最小的k个元素，因此忽略
直到i遍历到N-1为止，此时p[0,..,k-1]就是数组p最小的K个元素。
代码实现
class Untitled {
static void maxHeapify(int p[], int di, int length){
int li = (di<<1)+1;
int t = p[di];
while (li < length) {
if (li+1 < length && p[li+1] > p[li])
li++;
if (p[di] >= p[li])
break;
p[di] = p[li];
di = li;
li = (di<<1)+1;
}
p[di] = t;
}
static void buildMaxHeap(int p[], int length){
for(int i=(length>>1)-1; i >= 0; i--){
maxHeapify(p, i, length);
}
}
static void minKthNum(int p[] ,int k, int length) {
buildMaxHeap(p,k);
int t;
for (int i=k; i < length; i++) {
if (p[i] < p[0]) {
t = p[0]; p[0] = p[i]; p[i] = t;
maxHeapify(p, 0, k);
}
}
}
public static void main(String[] args) {
int p[] = new int[]{2, 3, 10, 2, 5, 6, 7, 20, 1, -5};
minKthNum(p, 3, p.length);
for (int i=0; i < 3; i++) {
System.out.println(String.valueOf(p[i]));
}
}
}
运行结果
>> 2
>> 1
>> -5
2.2 连续字数组的最大和
问题描述
数组中的元素有正有负，在该数组中找出一个连续子数组，要求该连续子数组中各元素的和最大，这个连续子数组便被称作最大连续子数组。比如数组{2,4,-7,5,2,-1,2,-4,3}的最大连续子数组为{5,2,-1,2}，最大连续子数组的和为5+2-1+2=8。
解决思路
通过对数组中的元素进行线性的遍历，并对每个元素进行累加，当发现目前为止累加的和maxendinghere小于0时，则说明最大的连续子数组不可能包含目前遍历到的子数组，那么就从下一个元素tmaxbegin开始计算子数组。
在遍历的过程中更新目前位置获得的最大连续子数组的和maxsofar，以及起止位置maxbegin和maxend。
代码实现
class Untitled {
static void maxSumSubArray(int p[], int length){
int maxendinghere = 0;
int maxsofar = 0;
int maxbegin = 0;
int maxend = 0;
int tmaxbegin = 0;
//从0开始遍历数组。
for(int i = 0; i < length; i++){
//maxendinghere 记录当前计算子数组的和。
maxendinghere += p[i];
//如果该和小于0，那么重新计算。
if(maxendinghere < 0){
maxendinghere = 0;
tmaxbegin = i+1;
}
//更新目前为止计算到的最大值。
if(maxsofar < maxendinghere){
maxbegin = tmaxbegin;
maxend = i;
maxsofar = maxendinghere;
}
}
//考虑数组全部是负数的情况
if(maxsofar == 0){
maxsofar = p[0];
for(int i = 1; i < length; i++){
if(p[i] > maxsofar){
maxsofar = p[i];
maxbegin = i;
maxend = i;
}
}
}
for (int i = maxbegin; i <= maxend; i++) {
System.out.println("i=" + p[i]);
}
}
public static void main(String[] args) {
int p[] = new int[]{2,4,-7,5,2,-1,2,-4,3};
maxSumSubArray(p, p.length);
}
}
运行结果
> i=5
> i=2
> i=-1
> i=2
2.3 连续子数组的最大和（二维）
问题描述
这个问题其实是2.2的变种，这时候输入是一个二维的矩阵，需要找到一个子矩阵，该子矩阵的和是这个二维的所有子矩阵中最大的。
解决思路
二维的问题和2.2中的一维问题的核心解决思路相同。
对于二维情况，我们将 同一列的多个元素合并成一个元素 来实现降维的效果，为了能实现在O(1)的时间内计算出同一列的多行元素之和，需要构建一个辅助数组，该辅助数组ps[i][j]的值，等于原输入数组p以p[0][0]为左上角到p[i][j]为右下角构成的子矩阵的所有元素之和，通过该辅助数组就能在O(1)的时间内计算出lRow到hRow行之间第col列的所有元素之和，计算公式为：
ps[hRow][col] - ps[hRow][col-1] - ps[lRow-1][col] + ps[lRow-1][col-1]
代码实现
class Untitled {
//计算从lRow到hRow之间，位于第col列的所有元素之和。
static int getColsum(int ps[][], int lRow, int hRow, int col) {
return ps[hRow][col] - ps[hRow][col-1] - ps[lRow-1][col] + ps[lRow-1][col-1];
}
static void maxSumSubArray2(int p[][], int xlen, int ylen){
int maxendinghere = 0;
int maxsofar = 0;
int tColbegin = 1;
int sx = 0;
int sy = 0;
int ex = 0;
int ey = 0;
//初始化辅助数组，ps[i][j]为以其为右下角的子矩阵的所有元素之和。
int psxLen = xlen+1;
int psyLen = ylen+1;
int[][] ps = new int[psxLen][psyLen];
for (int j = 0; j < psyLen; j++)
ps[0][j] = 0;
for (int i = 0; i < psxLen; i++)
ps[i][0] = 0;
for (int i = 1; i < psxLen; i++) {
for(int j = 1; j < psyLen; j++) {
ps[i][j] = ps[i-1][j] + ps[i][j-1] - ps[i-1][j-1] + p[i-1][j-1];
}
}
//求矩阵中的最大和，将位于同一个列的多行元素合并成一个元素，因此需要遍历包含不同行的情况。
for (int pStartRow = 1; pStartRow < psxLen; pStartRow++) {
for (int pEndRow = pStartRow; pEndRow < psxLen; pEndRow++) {
for (int pCol = 1; pCol < psyLen; pCol++) {
maxendinghere += getColsum(ps, pStartRow, pEndRow, pCol);
if (maxendinghere < 0) {
maxendinghere = 0;
tColbegin = pCol+1;
}
if (maxsofar < maxendinghere) {
maxsofar = maxendinghere;
sx = pStartRow - 1;
sy = tColbegin - 1;
ex = pEndRow - 1;
ey = pCol - 1;
}
}
maxendinghere = 0;
tColbegin = 1;
}
}
System.out.println("最大和=" + maxsofar + ",起始行=" + sx + ",终止行=" + ex + ",起始列=" + sy + ",终止列=" + ey);
}
public static void main(String[] args) {
int[][] p = {{1,-10,-11}, {4,5,6}, {7,8,9}};
maxSumSubArray2(p, 3, 3);
}
}
运行结果
>> 最大和=39,起始行=1,终止行=2,起始列=0,终止列=2
2.4 求数组中的逆序对
问题描述
在数组中的两个数字，如果 前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个 逆序对。输入一个数组，求出这个数组中的逆序对的总数。
解决思路
这里采用的是 归并算法 的思想，归并算法包含三个关键步骤：
- 分解：把长度为
n的待排序列分解成两个长度为n/2的序列。 - 治理：对每个子序列分别调用归并排序，进行递归操作。当子序列长度为
1时，序列本身有序，停止递归。 - 合并：合并每个排序好的子序列。
对于上面的例子，我们将整个数组分解为A、B两部分，则整个数组的逆序对个数就等于：
A部分组成的数组的逆序对 + B部分组成的数组的逆序对 + A与B之间的逆序对
这里有一个关键的点，就是需要保证在计算A与B之间的逆序对时，A和B内的元素都是有序的。
class Untitled {
static int inversePairs(int p[], int startIndex, int endIndex) {
if (endIndex == startIndex) {
return 0;
}
if (endIndex-startIndex == 1) {
if (p[endIndex] < p[startIndex]) {
int temp = p[startIndex];
p[startIndex] = p[endIndex];
p[endIndex] = temp;
return 1;
} else {
return 0;
}
}
int midOffset = (endIndex-startIndex) >> 1;
int l = inversePairs(p, startIndex, startIndex+midOffset);
int r = inversePairs(p, startIndex+midOffset+1, endIndex);
return l + r + inverseCore(p, startIndex, midOffset, endIndex);
}
static int inverseCore(int p[], int startIndex, int midOffset, int endIndex) {
int totalLen = endIndex-startIndex+1;
int lLen = midOffset+1;
int rLen = totalLen-lLen;
int l[] = new int[lLen+1];
int r[] = new int[rLen+1];
int i = 0;
for (i=0; i<lLen; i++) {
l[i] = p[startIndex+i];
}
l[i] = 1 << 30;
for (i=0; i<rLen; i++) {
r[i] = p[startIndex+lLen+i];
}
r[i] = 1 << 30;
int c = 0;
i = 0;
int m = 0;
int n = 0;
while(i < totalLen) {
if (r[n] <= l[m]) {
p[startIndex+i] = r[n];
c += (lLen - m);
n++;
i++;
} else {
p[startIndex+i] = l[m];
m++;
i++;
}
}
return c;
}
public static void main(String[] args) {
int[] p = {7,5,6,4};
System.out.println("Inverse Count=" + inversePairs(p, 0, 3));
}
}
运行结果
>> Inverse Count=5
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