【笔记】

对一棵高度为h的二叉查找树，动态集合操作SEARCH、MINIMUM、MAXIMUM、SUCCESSOR和PREDECESSOR等的运行时间均为O(h)。

    NODE* treeSearch(NODE *rt,T k) {
        if (rt==NULL || k==rt->key) return rt;
        if (k<rt->key) return treeSearch(rt->l,k);
        else return treeSearch(rt->r,k);
    }
    NODE* iterativeTreeSearch(NODE *rt,T k) {
        while (rt!=NULL && k!=rt->key) {
            if (k<rt->key) rt=rt->l;
            else rt=rt->r;
        }
    }
    NODE* treeMinimum(NODE *rt) {
        while (rt->l!=NULL) rt=rt->l;
        return rt;
    }
    NODE* treeMaximum(NODE *rt) {
        while (rt->r!=NULL) rt=rt->r;
        return rt;
    }
    NODE* treeSuccessor(NODE *rt) {
        if (rt->r!=NULL) return treeMinimum(rt->r);
        NODE* pt=rt->p;
        while (pt!=NULL && rt==pt->r) {
            rt=pt;
            pt=pt->p;
        }
        return pt;
    }

【练习】

12.2-1 假设在某二叉查找树中，有1到1000之间的一些数，现要找出363这个数。下列的结点序列中，哪一个不可能是所检查的序列。

b) c) e) 不是

12.2-2 写出TREE-MINIMUM和TREE-MAXIMUM过程的递归版本。

    NODE* getMinimum(NODE *rt) {
        if (rt->l!=NULL) return getMinimum(rt->l);
        return rt;
    }

12.2-3 写出TREE-PREDECESSOR过程。

    NODE* treePredecessor(NODE *rt) {
        if (rt->l!=NULL) return treeMaximum(rt->l);
        NODE* pt=rt->p;
        while (pt!=NULL && rt==pt->l) {
            rt=pt;
            pt=pt->p;
        }
        return pt;
    }

12.2-4 假设对关键字k的查找在一个叶节点处结束，考虑三个集合，A，包含查找路径左边的关键字；B，包含查找路径上的关键字；C，包含查找路径右边的关键字。给出a∈A，b∈B，c∈C，必定满足a<=b<=c的一个最小反例。

如图 20∈A，10∈B，20>10。

12.2-5 证明：如果二叉查找树中的某个结点有两个子女，则其后继没有左子女，其前驱没有右子女。

若该结点有左子女，则其前驱为左子树中的最大值即左子树的最左，显然没有左子女。

若该节点有右子女，则其后继为右子树中的最大值即右子树的最右，显然没有右子女。

12.2-6 考虑一棵其关键字各不相同的二叉查找树T。证明：如果T中某个结点x的右子树为空，且x有一个后继y，那么y就是x的最低祖先，且其他左孩子也是x的祖先。

考虑二叉查找树的中序遍历，对一个结点k，left[k]为根的子树中最大元素的后继是k，k的后继在right[k]中，right[k]为根的子树中最大元素的后继即为left[p[k]]或right[p[k]]的后继问题。由此可知，x的第一个右祖先y就是x的后继，y的左儿子和左儿子的左儿子等等都是x的祖先。

12.2-7 对于一棵包含n个结点的二叉查找树，其中序遍历可以这样来实现：先用TREE-MINIMUM找出树中的最小元素，然后再调用n-1次TREE-SUCCESSOR。证明这个算法的运行时间为Θ(n)。

TREE-MINIMUM运行时间为O(h)。n-1次TREE-SUCCESSOR实质上是非递归不用栈实现中序遍历的过程，因此运行时间为Θ(n)。

12.2-8 证明：在一棵高度为h的二叉查找树中，无论从哪一个结点开始，连续使用k次调用TREE-SUCCESSOR所需的时间是O(k+h)。

每个结点最多访问三次？

12.2-9 设T为一棵其关键字均不相同的二叉查找树，并设x为一个叶子结点，y为其父结点。证明：key[y]或者是T中大于key[x]的最小关键字，或者是T中小于key[x]的最大关键字。

若x为y的左孩子，查找y的前驱，显然最左孩子为x。因此key[y]为大于key[x]的最小关键字。

若x为y的右孩子，查找y的后继，显然最右孩子为x。因此key[y]为小于key[x]的最大关键字。