1、What is AVL tree?

AVL tree 是一种特殊的二叉查找树，，首先我们要在树中引入平衡因子balance，表示结点右子树的高度减去左子树的高度差（右-左），对于一棵AVL树要么它是一棵空树，要么它是一棵高度平衡的二叉查找树，平衡因子balance绝对值不超过1

非平衡的二叉查找树                                                            平衡的二叉查找树

根据定义，任意结点的平衡因子只能取-1、0、1

AVL搜索算法复杂度为log(n)

2、AVL树的插入

在向一棵AVL树中插入一个新结点时，如果树中某个结点的平衡因子的绝对值|balance|>1，则出现了不平衡，需要做平衡化处理。

在插入的位置可能要进行平衡旋转

每插入一个新结点时，AVL树中相关结点的平衡状态发生改变，因此，在插入一个新结点后，需要从插入位置沿通向根的路径回溯，检查各结点的平衡因子。

（1）右单旋转

（盗图）

插入了结点2，AVL树失衡了，现在要通过右单旋转将其化为AVL树

以结点3为旋转轴，将结点2与结点5顺时针旋转

将3变为根，5变为叶子节点

转后结果：

//右单旋转
void R_Rotate(BSTree &p)
{
	BSTree rc;
	rc=p->lchild;
	p->lchild=rc->rchild;
	rc->rchild=p;
	p=rc;
}

（2）左单旋转

与右单旋转类似

算法

//左单旋转
void L_Rotate(BSTree &p)
{
	BSTree lc;
	lc=p->rchild;
	p->rchild=lc->lchild;
	lc->lchild=p;
	p=lc;
}

（3）双旋转

如果是如下方式插入那么怎么办呢？

（盗图）

很明显的是单用左单旋转与右单旋转是无法解决问题的

要用左单与右单结合来做

对于上图中的情况先左旋在右旋

左旋：

其实就是化为能够进行右旋的形式

右旋：

3、分析

失去平衡的最小子树的根结点必然离插入结点最近，平衡因子的绝对值在插入之前大于0

（1）在查找S结点的插入位置过程中，记录与S结点最近，且平衡因子不等于零的结点a

（2）修改自a到S的路径上所有结点的平衡因子

（3）判断树是否出现不平衡，即a的平衡因子是否大于1

（4）若出现不平衡，进行平衡调整