[组合数]求组合数的几种方法总结

2023年4月10日 164次阅读 来源: 杨辉三角问题

求C(n,m)%mod的方法总结

1.当n,m都很小的时候可以利用杨辉三角直接求。
C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)；

2.利用乘法逆元。
乘法逆元：(a/b)%mod=a*(b^(mod-2)) mod为素数。
逆元可以利用扩展欧几里德或欧拉函数求得：

 1).扩展欧几里德：b*x+p*y=1 有解，x就是所求

 2).费马小定理：b^(p-1)=1(mod p),故b*b^(p-2)=1(mod p),所以x=b^(p-2)

1. n!/(m!*(n-m)! =x%p ,先对算出n！、m！、(n-m)!对p取模的余数，就转换为a/b=x%p;因为p为素数，所以等价于bx+py=a;然后用扩展的欧几里得定理算出 bx’+py’=1的解，x=x’*a，就得到了最终的x的值，即C(m,n)%p得值。

2.逆元 其实如果mod是素数 则b的逆元其实就是b^(mod-2)
也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)p-2 ；

int inv(int a) {  
    //return fpow(a, MOD-2, MOD); 
    return a == 1 ? 1 : (long long)(MOD - MOD / a) * inv(MOD % a) % MOD;  
}  
LL C(LL n,LL m)  
{  
    if(m < 0)return 0;  
    if(n < m)return 0;  
    if(m > n-m) m = n-m;  

    LL up = 1, down = 1;  
    for(LL i = 0 ; i < m ; i ++){  
        up = up * (n-i) % MOD;  
        down = down * (i+1) % MOD;  
    }  
    return up * inv(down) % MOD;  
}

3.当n和m比较大，mod是素数且比较小的时候（10^5左右），通过Lucas定理计算

Lucas定理：A、B是非负整数，p是质数。A B写成p进制：A=a[n]a[n-1]…a[0]，B=b[n]b[n-1]…b[0]。
则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])C(a[n-1],b[n-1])…*C(a[0],b[0]) mod p同余
即：Lucas(n,m,p)=C(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p,p)

#include<iostream>
//#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
int quick_power_mod(int a,int b,int m){//pow(a,b)%m
    int result = 1;
    int base = a;
    while(b>0){
         if(b & 1==1){
            result = (result*base) % m;
         }
         base = (base*base) %m;
         b>>=1;
    }
    return result;
}
//计算组合数取模
ll comp(ll a, ll b, int p) {//composite num C(a,b)%p
    if(a < b)   return 0;
    if(a == b)  return 1;
    if(b > a - b)   b = a - b;

    int ans = 1, ca = 1, cb = 1;
    for(ll i = 0; i < b; ++i) {
        ca = (ca * (a - i))%p;
        cb = (cb * (b - i))%p;
    }
    ans = (ca*quick_power_mod(cb, p - 2, p)) % p;
    return ans;
}
ll lucas(ll n, ll m, ll p) {
     ll ans = 1;

     while(n&&m&&ans) {
        ans = (ans*comp(n%p, m%p, p)) % p;//also can be recusive
        n /= p;
        m /= p;
     }
     return ans;
}
int main(){
    ll m,n;
    while(cin>>n>>m){
        cout<<lucas(n,m,10007)<<endl;
    }
    return 0;
}

C(n % mod, m % mod) % mod; 如果太大还是利用上面的逆元来处理。

半预处理
由于Lucas定理保证了阶乘的数均小于p，所以可以讲所有的阶乘先预处理，优化C（n,m）
mod的要求：p<10^6，且为素数
有效范围：1<=n,m<=10^9

//半预处理 
const ll MAXN = 100000;  
ll fac[MAXN+100];  
void init(int mod)  
{  
    fac[0] = 1;  
    for (int i=1; i<mod; i++){  
        fac[i] = fac[i-1] * i % mod;  
    }  
}  

//半预处理逆元求C（n，m）%mod 
ll C(ll n, ll m)  
{  
    if ( m>n ) return 0;  
    return fac[n] * (GetInverse(fac[m]*fac[n-m], mod)) % mod;  
}

4.还有一种就是分解质因子，这个比较麻烦。
http://www.mamicode.com/info-detail-621758.html

    原文作者：杨辉三角问题
    原文地址: https://blog.csdn.net/u010582475/article/details/47707739
    本文转自网络文章，转载此文章仅为分享知识，如有侵权，请联系博主进行删除。
点赞