设 x 和 y 都是 n 位的二进制整数，现在要计算它们的乘积 xy ，显然我们可以用一般的方法来计算。但是这样计算步骤太多，效率低下。如果将每 2 个 1 位数的乘法或加法看作一步运算，那么这种方法要作 O(n^2) 步运算才能求出乘积 xy 。那么我们如何来设计一个更有效的方法来实现大整数乘法呢？我们可以把x、y分别分解为左、右两半，每一半长度为 n/2，如：x = 10110110, 则 xl = 1011，xr = 0110。由此可得

    xy= (2^n * xl * yl) + 2^(n/2)(xl * yr + xr * yl) + (xr * yl)

此表达式的复杂性在于 4 个乘法运算。然而，我们还可以继续推导，使它简化为 3 次乘法运算，化简后的式子如下：

         xy= (xl * yl)2^n +[(xl – xr)(yr – yl) + (xl * yl) + (xr * yr)]2^(n/2) + (xr * yr)   (1)

显然，在(1)式中，只有三次乘法运算 (xl * yl)、(xl – xr)(yr – yl)、(xr * yr)。从而算法复杂度就会从蛮力计算时的 n^2 降到(3/4)n^2