利用数学推导,下面是推导的过程:
(1)第一个被删除的数为 (m – 1) % n。
(2)假设第二轮的开始数字为k,那么这n – 1个数构成的约瑟夫环为k, k + 1, k + 2, k +3, …..,k – 3, k – 2。做一个简单的映射。
k —–> 0
k+1 ——> 1
k+2 ——> 2
…
…
k-2 ——> n-2
这是一个n -1个人的问题,如果能从n – 1个人问题的解推出 n 个人问题的解,从而得到一个递推公式,那么问题就解决了。假如我们已经知道了n -1个人时,最后胜利者的编号为x,利用映射关系逆推,就可以得出n个人时,胜利者的编号为 (x + k) % n。其中k等于m % n。代入(x + k) % n <=> (x + (m % n))%n <=> (x%n + (m%n)%n)%n <=> (x%n+m%n)%n <=> (x+m)%n
(3)第二个被删除的数为(m – 1) % (n – 1)。
(4)假设第三轮的开始数字为o,那么这n – 2个数构成的约瑟夫环为o, o + 1, o + 2,……o – 3, o – 2.。继续做映射。
o —–> 0
o+1 ——> 1
o+2 ——> 2
…
…
o-2 ——> n-3
这是一个n – 2个人的问题。假设最后的胜利者为y,那么n -1个人时,胜利者为 (y + o) % (n -1 ),其中o等于m % (n -1 )。代入可得 (y+m) % (n-1)
要得到n – 1个人问题的解,只需得到n – 2个人问题的解,倒推下去。只有一个人时,胜利者就是编号0。下面给出递推式:
f [1] = 0;
f [ i ] = ( f [i -1] + m) % i; (i>1)
有了递推公式,实现就非常简单了,给出循环的两种实现方式(数组与容器)。
int JosephusProblem_Solution(int n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
int *f = new int[n+1];
f[0] = f[1] = 0;
for(unsigned i = 2; i <= n; i++)
f[i] = (f[i-1] + m) % i; //按递推公式进行计算
int result = f[n];
delete []f;
return result;
}
int JosephusProblem_Solution(int n, int m)
{
if(n < 1 || m < 1)
return -1;
vector<int> f(n+1,0);
for(unsigned i = 2; i <= n; i++)
f[i] = (f[i-1] + m) % i;
return f[n];
}