为什么我的眼里常含泪水？因为我有一个算法不会。为了节约点眼泪，今天我们就来介绍著名的模拟退火算法（Simulated Annealing），它是一种基于蒙特卡洛思想设计的近似求解最优化问题的方法。
这是本系列文章的第二篇，我们通过一个实例来编程演示模拟退火的执行。特别地，我们这里所采用的实例是著名的“旅行商问题”（TSP，Traveling Salesman Problem），它是哈密尔顿回路的一个实例化问题，也是最早被提出的NP问题之一。
在你阅读本文前，希望你已经读过《模拟退火算法系列之（一）：通俗理解》一文，因为本文我们主要讨论实现上的一些策略，对于那些基本的概念并不会过多涉及。
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TSP是一个最常被用来解释模拟退火用法的问题，因为这个问题比较有名，我们这里不赘言重述，下面直接给出C++实现的代码：
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdlib.h>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
#include <math.h>
#define N 30 //城市数量
#define T 3000 //初始温度
#define EPS 1e-8 //终止温度
#define DELTA 0.98 //温度衰减率
#define LIMIT 1000 //概率选择上限
#define OLOOP 20 //外循环次数
#define ILOOP 100 //内循环次数
using namespace std;
//定义路线结构体
struct Path
{
int citys[N];
double len;
};
//定义城市点坐标
struct Point
{
double x, y;
};
Path bestPath; //记录最优路径
Point p[N]; //每个城市的坐标
double w[N][N]; //两两城市之间路径长度
int nCase; //测试次数
double dist(Point A, Point B)
{
return sqrt((A.x - B.x) * (A.x - B.x) + (A.y - B.y) * (A.y - B.y));
}
void GetDist(Point p[], int n)
{
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = i + 1; j < n; j++)
w[i][j] = w[j][i] = dist(p[i], p[j]);
}
void Input(Point p[], int &n)
{
scanf("%d", &n);
for(int i = 0; i < n; i++)
scanf("%lf %lf", &p[i].x, &p[i].y);
}
void Init(int n)
{
nCase = 0;
bestPath.len = 0;
for(int i = 0; i < n; i++)
{
bestPath.citys[i] = i;
if(i != n - 1)
{
printf("%d--->", i);
bestPath.len += w[i][i + 1];
}
else
printf("%d\n", i);
}
printf("\nInit path length is : %.3lf\n", bestPath.len);
printf("-----------------------------------\n\n");
}
void Print(Path t, int n)
{
printf("Path is : ");
for(int i = 0; i < n; i++)
{
if(i != n - 1)
printf("%d-->", t.citys[i]);
else
printf("%d\n", t.citys[i]);
}
printf("\nThe path length is : %.3lf\n", t.len);
printf("-----------------------------------\n\n");
}
Path GetNext(Path p, int n)
{
Path ans = p;
int x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
int y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
while(x == y)
{
x = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
y = (int)(n * (rand() / (RAND_MAX + 1.0)));
}
swap(ans.citys[x], ans.citys[y]);
ans.len = 0;
for(int i = 0; i < n - 1; i++)
ans.len += w[ans.citys[i]][ans.citys[i + 1]];
cout << "nCase = " << nCase << endl;
Print(ans, n);
nCase++;
return ans;
}
void SA(int n)
{
double t = T;
srand((unsigned)(time(NULL)));
Path curPath = bestPath;
Path newPath = bestPath;
int P_L = 0;
int P_F = 0;
while(1) //外循环，主要更新参数t，模拟退火过程
{
for(int i = 0; i < ILOOP; i++) //内循环，寻找在一定温度下的最优值
{
newPath = GetNext(curPath, n);
double dE = newPath.len - curPath.len;
if(dE < 0) //如果找到更优值，直接更新
{
curPath = newPath;
P_L = 0;
P_F = 0;
}
else
{
double rd = rand() / (RAND_MAX + 1.0);
//如果找到比当前更差的解，以一定概率接受该解，并且这个概率会越来越小
if(exp(dE / t) > rd && exp(dE / t) < 1)
curPath = newPath;
P_L++;
}
if(P_L > LIMIT)
{
P_F++;
break;
}
}
if(curPath.len < bestPath.len)
bestPath = curPath;
if(P_F > OLOOP || t < EPS)
break;
t *= DELTA;
}
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
freopen("TSP.data", "r", stdin);
int n;
Input(p, n);
GetDist(p, n);
Init(n);
SA(n);
Print(bestPath, n);
printf("Total test times is : %d\n", nCase);
return 0;
}
注意由于是基于蒙特卡洛的方法，所以上面代码每次得出的结果并不完全一致。你可以通过增加迭代的次数来获得一个更优的结果。
我们这里需要说明的是，在之前的文章里，我们用求最小值的例子来解释模拟退火的执行：如果新一轮的计算结果更前一轮之结果更小，那么我们就接受它，否则就以一个概率来拒绝或接受它，而这个拒绝的概率会随着温度的降低（也即是迭代次数的增加）而变大（也就是接受的概率会越来越小）。
但现在我们面对一个TSP问题，我们如何定义或者说如何获取下一轮将要被考察的哈密尔顿路径呢？在一元函数最小值的例子中，下一轮就是指向左或者向右移动一小段距离。而在TSP问题中，我们可以采用的方式其实是很多的。上面代码中GetNext()函数所采用的方式是随机交换两个城市在路径中的顺序。例如当前路径为 A->B->C->D->A，那么下一次路径就可能是A->D->C->B->A，即交换B和D。而在文献【3】中，作者采样的代码如下（我们截取一个片段，完整代码请参考原文）：
public class Tour{
... ...
// Creates a random individual
public void generateIndividual() {
// Loop through all our destination cities and add them to our tour
for (int cityIndex = 0; cityIndex < TourManager.numberOfCities(); cityIndex++) {
setCity(cityIndex, TourManager.getCity(cityIndex));
}
// Randomly reorder the tour
Collections.shuffle(tour);
}
... ...
}可见作者的方法是把上一轮路径做一个随机的重排（这显然也是一种策略）。
TSP.data的数据格式如下，第一行的数字表示一个有多少座城市，第2至最后一行，每行有两个数字表示，城市的坐标（平面直角坐标系）。例如：
6
20 80
16 84
23 66
62 90
11 9
35 28
最后请读者自行编译执行程序并观察分析输出的结果。
参考文献与推荐阅读材料
【1】关于哈密尔顿问题和TSP问题请参考下面两个资料以了解更多：
- 从哈密尔顿路径谈NP问题
- William J. Cook，迷茫的旅行商：一个无处不在的计算机算法问题，人民邮电出版社，2013
【2】上面的C++代码在下面这个两个帖子中都有给出，原作者无法考证
【3】关于TSP问题的一个Java语言实现的源码，请参考
