在棋盘上放置8 个皇后，使得它们互不攻击， 此时每个皇后的攻击范围为同行同列和对角线，要求找出所有解

【分析】

思路一：把问题转化为“从64 个格子中选一个子集”，使得“子集中恰好有8 个格子，

且任意两个选出的格子都不在同一行、同一列或同一个对角线上” 。这是子集枚举问题，不

是一个好的模型。

思路二： 把问题转化为“从64 个格子中选8 个格子”，这是组合生成问题。比思路一好，

但是仍然不是很好。

思路三：由分析可得，恰好每行每列各放置一个皇后。如果用C[x] 表示第x 行皇后的

列编号，则问题变成了全排列生成问题。

提示7-4 ：在编写递归枚举程序之前，需要深入分析问题，对模型精雕细琢。一般还应

对解答树的结点数有一个粗略的估计，作为评价模型的重要依据，

当把问题分成若干步骤并递归求解时，如果当前步骤没有合法选择，则函数

将返回上一级递归调用， 这种现象称为回溯。正是因为这个原因， 递归枚举算法常称为回溯

法，它的应用十分普遍。

在主程序中读入n，并为tot 清0，然后调用search(0) ，即可得到解的个数tot 。当n=8，则tot=92, 状态空间结点数nc=2057。完整的程序如下：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int  n, tot = 0, nc = 0;
int C[50];
int vis[3][50];
void search(int cur)
{
	nc++;
	int i, j;
	if (cur == n)//递归边界，只要走到了这里，所有皇后必然不冲突
	{
		tot++;
		for (int k = 0; k < n; k++)
		{
			cout << C[k] << " ";
		}
		cout << endl;
	}
	else for (i = 0;i < n; i++)
		{
			int ok = 1;
			C[cur] = i;//尝试把cur行的皇后放在第i列（C[cur]表示行的值，cur表示行。 cur - C[cur]表示对角线的值）
			for(j=0;j<cur;j++)//检查是否和前面的皇后冲突
				if (C[cur] == C[j] || cur - C[cur] == j - C[j] || cur + C[cur] == j + C[j])//列以及正负对角线的值是否相等来判断是否冲突
				{
					ok = 0; break;
				}
			if (ok)
				search(cur + 1);//如果合法，则继续递归
		}
}
int main()
{
	cin >> n;
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	search(0);
	cout << tot << endl;
	cout << nc << endl;
	system("pause");
	return 0;
}

既然是逐行放置的， 则皇后肯定不会横向攻击， 因此只需检查是否纵向和斜向攻

击即可。条件cur-C[cur] == j-C[j] || cur+C[cur]== j+C[j] 用来判断皇后(cur,C[cur])

和(j,C[j]) 是否在同一条对角线上。其原理可以用图7-26 说明。

(a) 格子(x,y) 的y-x 值标识了主对角线(b) 格子(x,y) 的x+y值标识了副对角线

图7-6 棋盘中的对角线标识

上面的程序还可改进： 利用二维数组vist[2][] 直接判断当前尝试的皇后所在的列和两

个对角线是否已有其他皇后。注意到主对角线标识y-x 可能为负，存取时要加上n。完整的

程序如下：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
using namespace std;

int  n, tot = 0, nc = 0;
int C[50];
int vis[3][50];

void search(int cur)
{
	int i, j;
	nc++;
	if (cur == n) tot++;
	else for (i = 0; i < n; i++)
		{
			if (!vis[0][i] && !vis[1][cur + i] && !vis[2][cur - i + n])//利用二维数组直接判断
			{
				C[cur] = i;//如果不需要打印解，整个C数组可以省略
				vis[0][i] = vis[1][cur + i] = vis[2][cur - i + n] = 1;//修改全局变量
				search(cur + 1);
				vis[0][i] = vis[1][cur + i] = vis[2][cur - i + n] = 0;//切记一定要改回来（回溯 还原状态）
			}		
		}
}
/*上面的程序关键的地方是vis 数组的使用。vis 数组表示已经放置的皇后占据了哪些列、
主对角线和副对角线(行列的标号是可以动的，就看自己是怎样定义的了)。（这三个状态表示确定是否有重叠现象）
将来放置的皇后不应该修改这些值。一般地， 如果要回溯法中修改了辅助的全局变量，则一定要及进把它们恢复原状
（除非故意保留修改） 。另外，千万不要忘记在调试之前把vis 数组清空。*/
int main()
{
	cin >> n;
	memset(vis, 0, sizeof(vis));
	search(0);
	cout << tot << endl;
	cout << nc << endl;
	system("pause");
	return 0;
}