M个球放入N个盒子的放法

1、N个盒子编号为1到N， 把M个相同的球放入这N个不相同的盒子，问共有多少种放法。

M个球分成了N组，即装入N个盒子。如果要求每个盒子至少有一个球,则要求M>=N.

M个球排成一排,中间有M-1个空隙, 任选N-1个空隙放挡板,即分成N组, 放法总数为：C(M-1，N-1) 。

2、N=3时，特例

1)将M个球放入3个不同的盒子共有X(M)=C(M-1,2)种方法；

2)其中有两个即以上盒子中的球数目相同的情况，共有Y(M)=[(M-1)/2]中，[*]表示取整。如果M是3的倍数，则包含1种三个盒子中球数目都相同，否则没有。令Z(M)=1，如果Mmod3=0，否则Z=0；下面考虑如下事实：

l 两个盒子球数目相同，如果盒子不同，相同的一组数有3中组合，即任选一个盒子放入那个不同的数，另外两个盒子一样，C(3，1)=3；

l 三个盒子球数目相同，不管盒子相同或不同都只有一种放法；

l 三个盒子中球数目都不同，一组数由于盒子不同而带来的组合有P(3)=3*2*1=6种。

因此盒子不同时总的放法为X，其中有3(Y-Z)中是两个及以上盒子球相同的放法，Z种三个盒子球数目相同的放法，剩余的为三个盒子球数目都不相同的放法，即X-3*(Y-Z)-Z。

3)当盒子不做区分时，

l 两个盒子球数目相同的情况有Y-Z种；

l 三个盒子数目相同的情况有Z种；

l 三个盒子数目都不相同的情况有X-3*(Y-Z)-Z；

因此当盒子不做区分时，将M个球放入3个盒子的总的放法为：

A=Z(M)+(Y(M)-Z(M))+{X(M)-3*[Y(M)-Z(M)]-Z(M)}/6

M=15时，Z(M)=1, Y(M)=7, X(M)=91，

所以A=1+(7-1)+{91-3*[7-1]-1}/6=7+72/6=19

2、N=3时，M=15时特例

当M=15时可以用穷举法。

方法一：推理。令X+Y+Z=15, X<=Y<=Z

当X=1时，Y+Z=14，Y=1~7，共7种；

当X=2时，Y+Z=13，Y=2~6，共5种；

当X=3时，Y+Z=12，Y=3~6，共4种；

当X=4时，Y+Z=11，Y=4~5，共2种；

当X=5时，Y+Z=10，Y=5，共1种；

总计：7+5+4+2+1=19种，

方法二：图解

总计：7+5+4+2+1=19种。