一、问题

碰到一个比较好玩的问题，我有许多小额的发票，需要从这些发票中凑出一个指定的整数来。怎么去实现呢？

二、规划求解

在excel中，有一个功能是“规划求解”，具体可以参看链接：规划求解。
规划求解怎么算的，我也不知道，我们来看看用python怎么实现。

三、python实现

这些小额发票，我们可以用一个列表来表示。比如a = [1, 3, 5, 6, 8]。

那么这个列表的元素可能产生多少种组合呢？

由于列表里面每一个元素都可能有，也可能没有。

所以这里面就有2的5次方种变化。

a = [1, 3, 5, 6, 8]
all_subset = [[]]
for i in range(len(a)):
    for j in range(len(all_subset)):
        all_subset.append(all_subset[j]+[a[i]])
print(all_subset)
print(len(all_subset))  # 32

似乎我只需要对上面的二维数组里面每一个元素，即一维数组求和即可。列表中有5个数，有32种可能性，这么操作可行。但是，假如是10个数则有1024（2的10次方）种可能性，20个数就有1048576（2的20次方）种可能性，30个数则有1073741824（2的30次方）种可能性。组合的可能性可是指数翻番，电脑根本存不下这么长的列表。那就得再想其它办法。

现在的问题是，在没有这个长列表的情况下，我怎么去遍历这些所有组合呢。我们用多层嵌套的方式求解。

a = [1, 3, 5, 6, 8]
ran2 = range(2)
sum = 0
for d0 in ran2:
    for d1 in ran2:
        for d2 in ran2:
            for d3 in ran2:
                for d4 in ran2:
                    data = a[0]*d0 + a[1]*d1 + a[2]*d2 + a[3]*d3 + a[4]*d4
                    sum += 1
print(sum)  # 32

这样我们就不用存这个长列表，只要把每一个data跟设定的总数进行对比即可。但是问题又来了，如果给了我30张发票，我要写30个嵌套循环吗？那画面简直无法想象。

我们注意到，列表里面每个元素，只有两种状态，即有和没有。那么可以再创建一个列表，表示状态，0表示没有，1表示有。即

a = [1, 3, 5, 6, 8]
coefficient = [0, 0, 0, 0, 0]

这样就只需要更改coefficient里面每个元素的状态即可。为了实现coefficient这个列表各种可能性，我们可以采用把数字转为二进制，然后将二进制数每个数字位分开的方式。
代码如下。

a = [1, 3, 5, 6, 8]
for i in range(0, 2**len(a)):
    coefficient = list(str(bin(i))[2:].rjust(len(a), '0'))
    print(coefficient)

结果如下：

['0', '0', '0', '0', '0']
['0', '0', '0', '0', '1']
['0', '0', '0', '1', '0']
['0', '0', '0', '1', '1']
['0', '0', '1', '0', '0']
....
['1', '1', '1', '1', '0']
['1', '1', '1', '1', '1']

这样就只需要把列表a和列表coefficient的每个元素相乘累加即可。

四、代码

最后呈现的代码如下，我有29张发票，要求得到的值是180。

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import time
from functools import reduce

# 原列表
nums = [1.68, 37.27, 14.78, 12.84, 15.26, 4.86, 10.06, 25.6, 8.42, 20.27,
        6.46, 29.68, 6.13, 18.48, 4.98, 7.88, 4.77, 8.61, 5.75, 4.3, 7.76,
        3.13, 11.11, 5.1, 2.91, 3.55, 6.45, 55.27, 8.76]

# 期待求和的值
expect_data = 180

# 对数组进行排序
nums.sort()

# 缩小数组范围，将比设定值大的元素抛弃
narrow_nums = []
for i in nums:
    if i > expect_data:
        break
    narrow_nums.append(i)

# 把数组倒序
narrow_nums.sort(reverse=True)

start_time = time.time()

# 开始计算
for i in range(0, 2**len(narrow_nums)):
    # 将循环的值转变为参数列表
    nums_coefficient = list(str(bin(i))[2:].rjust(len(narrow_nums), '0'))
    # 将参数列表和原数组进行乘积运算得到新的列表
    combine_list = list(map(lambda x: x[0] * int(x[1]), zip(narrow_nums, nums_coefficient)))
    # 对列表进行求和取值
    sumdata = reduce(lambda x, y: x + y, combine_list)
    if abs(sumdata - expect_data) < 1e-6:
        print(list(filter(lambda x: x > 0, combine_list)))
        break

end_time = time.time()
print('运算了{}次，耗时{}'.format(i, round(end_time - start_time, 2)))

以下是结果：

[20.27, 18.48, 14.78, 12.84, 11.11, 10.06, 8.76, 8.61, 8.42, 7.88, 7.76, 6.46, 6.45, 5.75, 5.1, 4.98, 4.86, 4.77, 4.3, 3.55, 3.13, 1.68]
运算了29359101次，耗时591.0

五、总结

介绍了如何将多层嵌套转化为一维数组进行运算

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