几种数值积分方法的误差

理论总结及讨论

学生:于欣蕊

指导教师:任文秀

课程设计的基本思路

本课程设计通过总结与比较各类数值积分方法及

列出具体算例,通过余项、代数精度等比较各种方法

的异同。在我们解题时,用一些方法只能解决很狭隘

的一部分积分,在它的范围外通常采用各种近似计算》

的方法。在近似计算过程中,肯定会产生误差,我们

必须想办法使得产生的误差尽可能的小。因此,一个

好的数值求积公式应该满足:计算简单、误差小、代

数精度髙并且稳定。为了提高运算速度和准确性,我

们要重视误差分析、收敛性及稳定性的基本理论识

从而使运算速度更快、更准

、几种数值积分的算法

1、 Newton-ctes求积公式

(1)梯形公式(n=1)

b

f(xdxsT=ff(a) +f(b)

(2)sm0(辛普森)公式(n2)/os-6/42+

(3) Cotes公式(n=4)∫f(xMC=“7fx)+32f(x)+12f(x)+32f(x)+7(x

2、复化求积公式

(1复化梯形求积公式

f(a)+2∑f(x)+(b

(2)复化 Simpton求积公式

fa)2∑f(x)+4∑f(x)f(b)

(3)复化 Cotes.求积公式

Cn=m7f(a)+3∑(f(x1)+f(x+)+12∑(x)+14∑f(x)h)

3、龙贝格求积公式

,m=1,2,Ai,k=i-m

4、高斯求积公式

(1)高斯-勒让德求积公式

∫

f(x)x≈∑Af(x)

(2)高斯切比雪夫求积公式

(3)高斯-拉盖尔求积公式

e’f(x)dx≈

(4)高斯-埃尔米特求积公式

∫

∑

A(x)

三、

数值积分方法的误差比较及算例

1、 Newton- Cotes求积公式的误差分析

(1)梯形公式的截断误差R

(b-a)3,5∈(a,b)

(2)辛普森公式截断误差R=(b-a)

f“(2,∈(a,b)

(3)柯特斯公式截断误差R2=200b-ayr(.(b

小结:5 Impson公式的插值节点只比梯形公式多一个,但其

代数精确度却比梯形公式高2,它们都是最为常用的数值积分公

式,尤其是5 mason公式逻辑结构简单,且精度又比较高