从向量相乘说起

假设我们有两个向量【注：本文所言及的向量均指列向量】 α m × 1 , β n × 1 \alpha_{m\times 1},\beta_{n\times 1} αm×1​,βn×1​。
那么我们知道：

向量乘矩阵

假设我们有一个矩阵 B m × n B_{m\times n} Bm×n​。此处排除掉 m = 1 , n = 1 m=1,n=1 m=1,n=1的情况。那么我们只能做如下的运算：

分块矩阵相乘

这个时候有力的工具就是把矩阵视作元素。
记矩阵有 A , B , P A,B,P A,B,P三个

• 设想有如下形式的矩阵乘法：
  P ⋅ [ A B ] P\cdot [A \qquad B] P⋅[AB]
  我们把每个矩阵当作一个数，那么 P P P就是一个“1×1”的“数”。【注：P的维度可以是mxn，这里是只是看做一个数】。
  那么 [ A B ] [A \qquad B] [AB]就是一个有两个数的行向量了。
  根据矩阵乘法的原理：“1×1” x “1×2” = “1×2”
  结果是一个”1×2″的 “行向量”。要注意，这里的行向量里的元素是矩阵。
  那么我们有：
  P ⋅ [ A B ] = [ P A P B ] P\cdot [A \qquad B]=[PA \qquad PB] P⋅[AB]=[PAPB]

• 我们再考虑如下形式：
  [ A B ] ⋅ P [A \qquad B]\cdot P [AB]⋅P
  根据上面的考量，这里相当于是
  “1×2” x “1×1”
  明显不能这么运算！
  但我们知道，当 A m × k , B m × p A_{m\times k },B_{m\times p} Am×k​,Bm×p​时，令 C m × ( k + p ) = [ A B ] C_{m\times (k+p)}=[A\qquad B] Cm×(k+p)​=[AB]，只要 P ( k + p ) × n P_{(k+p)\times n} P(k+p)×n​，上面这个运算其实是可以进行的，并且结果为： C m × ( k + p ) P ( k + p ) × n = D m × n C_{m\times (k+p)}P_{(k+p)\times n}=D_{m\times n} Cm×(k+p)​P(k+p)×n​=Dm×n​
  为了使运算能够有意义,我们必须对P矩阵做拆分，让他也变成一个分块矩阵。
  P = [ P 1 P 2 ] P=\begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \end{bmatrix} P=[P1​P2​​]
  则：
  [ A B ] ⋅ P = [ A B ] [ P 1 P 2 ] = A P 1 + B P 2 [A \qquad B]\cdot P= [A \qquad B]\begin{bmatrix} P_1 \\ P_2 \end{bmatrix}=AP_1+BP_2 [AB]⋅P=[AB][P1​P2​​]=AP1​+BP2​

• 类似地，我们有：

P ⋅ [ A B ] P\cdot \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix} P⋅[AB​]
“1×1” x”2×1″
为有意义：
P = [ P a P b ] P=[P_a\qquad P_b] P=[Pa​Pb​]
则：
P ⋅ [ A B ] = [ P a P b ] [ A B ] = P a A + P b B P\cdot \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}=[P_a\qquad P_b]\begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}=P_aA+P_bB P⋅[AB​]=[Pa​Pb​][AB​]=Pa​A+Pb​B

• 对于

[ A B ] ⋅ P \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}\cdot P [AB​]⋅P
“2×1” x “1×1”
立即推：

[ A B ] ⋅ P = [ A P B P ] \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}\cdot P=\begin{bmatrix} AP \\ BP \end{bmatrix} [AB​]⋅P=[APBP​]

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