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时间复杂度

  同一问题可用不同算法解决，而一个算法的质量优劣将影响到算法乃至程序的效率。一个算法的时间开销记作：T(n),其中n表示算法的基本操作模块被重复执行的次数。算法的时间复杂度记做T(n)=O(f(n))，随着n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率成正比，所以f(n)越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。时间复杂度常用大O符号表述。这种用大写的O来代表算法的时间复杂度的记法叫”大O阶”记法。

算法的时间复杂度(大O阶)的计算方法为： 

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

也就是当n增大到一定值后，对时间复杂度影响最大的就是n的幂次最高的项，其他的常数项和低幂次项都可以忽略不计。

例如： 

在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数。例如：

 1 int n = 100000; //执行了1次
 2 for(int i = 0; i < n; i++){  //执行了n+1次
 3   for(int j = 0; j < n; j++) //执行了n*(n+1)次
 4   {
 5       printf("i = %d, j = %d", i, j); //执行了n*n次
 6   }
 7 }
 8 
 9 for(int i = 0; i < n; i++){  //执行了n+1次
10   printf("i = %d", i); //执行了n次
11 }
12 
13 printf("Done"); //执行了1次

按上面推导”大O阶”的步骤我们先来第一步：”用常数1取代运行时间中的所有加法常数”，则上面的算式变为:
执行总次数 = 2n^2 + 3n + 1;

第二步：”在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项”，这里的最高阶项是n的二次方
所以算式变为：
执行总次数 = 2n^2;

第三步：”如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数”，这里n的二次方不是1所以
要去除这个项相乘的常数算式变为:
执行总次数 = n^2;

因此，最后我们得到上面的那段代码的算法时间复杂度表示为: O(n^2); 

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：
常数阶O(1), 对数阶O(log2n),线性阶O(n)
线性对数阶O(nlog2n), 平方阶O(n^2), 立方阶O(n^3)…, k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n),随着问题规模n的不断增大，
上述时间复杂度不断增大，算法的执行效率越低。

如：嵌套一层for循环的时间复杂度为:O(n),二层for循环为O(n^2)，二分的算法时间复杂度为:O(logn)，如果一个for循环套一个二分，那么时间复杂度为O(nlogn);

备注：这里只是通过一个数理化的形式来比较算法的时间执行效率，并不能真正推导出算法在特定机器的执行时间，这取决于具体的电脑和代码。

总结：

一个算法所耗费的时间=算法中每条语句的执行时间之和。算法转换为程序后，每条语句执行一次所需的时间取决于机器的指令性能、速度以及编译所产生的代码质量等难以确定的因素。如果要计算一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。

若要独立于机器的软、硬件系统来分析算法的时间耗费，则设每条语句执行一次所需的时间均是单位时间，一个算法的时间耗费就是该算法中所有语句的频度之和（算法中的语句执行次数称为语句的频度或时间频度）。