集合划分问题

n个元素的集合{1,2,.,n }可以划分为若干个非空子集。例如，当n=4 时，集合{1,2,3,4}可以划分为15个不同的非空子集如下：
{1}，{2}，{3}，{4}}， {{1，2}，{3}，{4}}，
{{1，3}，{2}，{4}}， {{1，4}，{2}，{3}}，
{{2，3}，{1}，{4}}， {{2，4}，{1}，{3}}，
{{3，4}，{1}，{2}}， {{1，2}，{3，4}}，
{{1，3}，{2，4}}， {{1，4}，{2，3}}，
{{1，2，3}，{4}}， {{1，2，4}，{3}}，
{{1，3，4}，{2}}， {{2，3，4}，{1}}，
{{1，2，3，4}}

编程任务：
给定正整数n 和m，计算出n 个元素的集合{1,2,., n }可以划分为多少个不同的由m 个
非空子集组成的集合。

算法思路：

设n个元素的集合可以划分为F(n,m)个不同的由m个非空子集组成的集合。
考虑3个元素的集合，可划分为
① 1个子集的集合：{{1，2，3}}
② 2个子集的集合：{{1，2}，{3}}，{{1，3}，{2}}，{{2，3}，{1}}
③ 3个子集的集合：{{1}，{2}，{3}}
∴F(3,1)=1;F(3,2)=3;F(3,3)=1;
如果要求F(4,2)该怎么办呢？
A.往①里添一个元素{4}，得到{{1，2，3}，{4}}
B.往②里的任意一个子集添一个4，得到
{{1，2，4}，{3}}，{{1，2}，{3，4}}，
{{1，3，4}，{2}}，{{1，3}，{2，4}}，
{{2，3，4}，{1}}，{{2，3}，{1，4}}

∴F(4,2)=F(3,1)+2*F(3,2)＝1+2*3＝7

推广，得F(n,m)=F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m)

public class SetPartition1 { public int F(int n,int m){ if(n<=2) return 1; if(m==1||n==m) return 1; else return F(n-1,m-1)+m*F(n-1,m); } public static void main(String[] args) throws IOException{ SetPartition1 sp = new SetPartition1(); int a; int s=0; String input; BufferedReader stdin = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)); input = stdin.readLine(); a = Integer.parseInt(input); for(int i=1;i<=a;i++){ int t = sp.F(a, i); s=s+t; } System.out.println(s); } }

众数问题

给定含有n个元素的多重集合S，每个元素在S中出现的次数称为该元素的重数。多重集S中重数最大的元素称为众数。例如，S={1，2，2，2，3，5}。多重集S的众数是2，其重数为3。

数据输入

输入包括多组数据，请处理到EOF结束。每组数据，以一个n(1<=n<=100,000)开始，接下n行，每行有一个数字(-2³¹~2³¹)。

数据输出

对于每组输入数据，输出一行一个数字，表示众数。如果存在多个解，只需输出值最小的众数即可。

算法思路：首先用快速排序算法排序数组，找到当前数组的中位数及其位置，然后把在数组中与中位数相同的数字向它靠拢，就可以统计中位数的个数。现在数组已经被中间这些相等的数字分开了。那么递归条件就有了。如果中位数的个数比它左边这段短，那么说明左边有可能找到更多的，所以递归继续。反之，如果左边这段数的长度比较短，那么就没必要继续递归。对右边那段数据使用同样的策略。

 class ZS{ int element; //元素 int sum; //重数 } //记录中位数的起始下标 class Node{ int low; int high; } public class CountMode { public ZS x = new ZS(); void sort(int a[],int s,int t){ //对数组a进行快速排序 int i=s,j=t; int temp; if(s<t){ temp = a[s]; while(i!=j){ while(j>i&&a[j]>temp) j–; if(i<j){ a[i]=a[j]; i++; } while(i<j&&a[i]<temp) i++; if(i<j){ a[j]=a[i]; j–; } } a[i]=temp; sort(a,s,i-1); sort(a,i+1,t); } } //求中位数 int madian(int a[],int l,int r){ int x=r-l+1; return a[x/2]; } //返回中位数的起始点 Node spalit(int a[],int med,int l,int r){ Node m = new Node(); m.low=l; m.high=r; for(int i=0;i<=r;i++){ if(med==a[i]){ m.low=i; break; } } for(int j=r;j>=0;j–){ if(med==a[j]){ m.high=j; break; } } return m; } //求众数 void mode(int a[],int l,int r){ if(l>=r) return; else{ Node n; int temp=0; int med; med=this.madian(a, l, r); n = this.spalit(a, med, l, r); temp=n.high-n.low+1; if(x.sum<temp){ x.element = med; x.sum=temp; } if(n.low-1>temp){ if(x.sum<temp){ x.element = med; x.sum=temp; } mode(a,l,n.low-1); } if(r-n.high>temp){ if(x.sum<temp){ x.element = med; x.sum=temp; } mode(a,n.high+1,r); } } }