第2章 递归与分治策略

2.1 递归的概念

直接或间接调用自身为递归。

采用递归的目的（思路）是将一个较大（或较复杂）的问题分解成较小的相同问题。

使用递归方法时，一定要设置结束递归的边界条件。

 递归的实现的关键是建立递归调用工作栈。（但使用时并不需要我们去建立，系统自动进行这个操作。）

递归的优点是形式简单，缺点是运行效率低（多次调用函数耗费大量时间、空间，问题规模较大时无法在规定时间内完成）。

【例-阶乘】 阶乘函数 n!

可用递归函数定义：

n! = 1          ,n=0

       n(n-1)!  ,n>0

递归函数必须有非递归定义（直接给定）的初始值。

第一式给出初始值，第二式给出用较小自变量表示较大自变量的函数值的式子。

用C++表示:

int factorial(int n) {
  if( n == 0)
    return 1;
  else
    return n*factorial(n-1);
}

【例-斐波那契数列】

数列1,1,2,3,5,8,13,21,…为斐波那契数列。

F(n) = 1                    , n = 0或1

F(n) = F(n-1)+F(n-2)  n>1

C++表示:

int fibonacci(int n){
  if (n<=1)
    return 1;
  else
    return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2);
}

【例-Hanoi塔问题】

汉诺塔问题是一个经典的可用递归解决的问题。

问题简述：

设有3个塔座，记为a,b,c

开始时a上一共叠有n个圆盘，圆盘从下到上，由大到小地叠在一起。

要求把a上的n个圆盘移到b上，仍按照上小下大的顺序叠放。

规则是每次只能移动一个盘子，且大盘子不能压在小盘子上。

使用递归方法分析这个问题：

当n=1时，将这个盘子放在b上即可

n>1时，先把n-1个盘子放在c上，再把最大的那个放在b上，接着把n-1个盘子放在b上。

void hanoi(int n, int a, int b, int c) {  //把a上的n个圆盘移到b上
    if(n>0){               //n>0，（有盘子时执行下面操作，n=0就放完了，结束）
        hanoi(n-1,a,c,b);  //把a上的n-1个圆盘移到c上，b是中转站
        move(a,b);         //移动剩下的那个大圆盘
        hanoi(n-1,c,b,a);  //将c上的n-1个圆盘移到b上，a是中转站
    }
}

2.2 分治法的基本思想

分治法的基本思想是将一个规模为n的问题 分解为 k个规模较小的子问题。子问题相互独立且与原问题相同。

递归地解这些子问题，然后将各子问题地解合并得到原问题的解。

【例-二分搜索技术】

给定以排序的n个元素a[0,n-1]，要在这n个元素里找一特定元素x。

若使用顺序搜索方法逐个比较x和a[]中的元素，最坏情况下要对比完所有的n个元素，时间复杂度O(n)。

使用二分搜索可在O(logn)时间完成搜索。基本思想如下：

将n个元素分为个数相当的两半，取a[n/2]与x比较，

若x= a[n/2]，找到x，算法终止；

若x<a[n/2]，则x在a[n/2]左侧，在a[n/2]左侧搜索；

若a>[n/2]，x在a[n/2]右侧，在a[n/2[右侧搜索。

template<class Type>
int BinarySearch(Type a[],const Type& x,int n){
    int left = 0;
    int right = n-1;
    while(left<=right){
        int middle = (left+right)/2;
        if(x==a[middle])
            return middle;
        if(x>a[middle])
            left = middle+1;
        if(x<a[middle])
            right = middle-1;
    }
    return -1;
}