样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式，介绍一下三次样条插值的原理，并附C语言的实现代码。
1. 三次样条曲线原理
假设有以下节点
1.1 定义
样条曲线 是一个分段定义的公式。给定n+1个数据点，共有n个区间，三次样条方程满足以下条件：
a. 在每个分段区间 (i = 0, 1, …, n-1，x递增)，
都是一个三次多项式。
b. 满足 (i = 0, 1, …, n )
c. ，导数
，二阶导数
在[a, b]区间都是连续的，即
曲线是光滑的。
所以n个三次多项式分段可以写作：
，i = 0, 1, …, n-1
其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解
已知:
a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n
b. 每一分段都是三次多项式函数曲线
c. 节点达到二阶连续
d. 左右两端点处特性(自然边界，固定边界，非节点边界)
根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。
插值和连续性：
, 其中 i = 0, 1, …, n-1
微分连续性：
, 其中 i = 0, 1, …, n-2
样条曲线的微分式：
将步长
带入样条曲线的条件：
a. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出
b. 由 (i = 0, 1, …, n-1)推出
c. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出
由此可得：
d. 由 (i = 0, 1, …, n-2)推出
设 ，则
a. 可写为：
，推出
b. 将ci, di带入 可得：
c. 将bi, ci, di带入 (i = 0, 1, …, n-2)可得：
端点条件
由i的取值范围可知，共有n-1个公式， 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。
a. 自由边界(Natural)
首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即 。具体表示为
和
则要求解的方程组可写为：
b. 固定边界(Clamped)
首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出
将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为
c. 非节点边界(Not-A-Knot)
指定样条曲线的三次微分匹配，即
根据 和
，则上述条件变为
新的方程组系数矩阵可写为：
右下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响：
1.3 算法总结
假定有n+1个数据节点
a. 计算步长 (i = 0, 1, …, n-1)
b. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程
c. 解矩阵方程，求得二次微分值。该矩阵为三对角矩阵，具体求法参见我的上篇文章：三对角矩阵的求解。
d. 计算样条曲线的系数：
其中i = 0, 1, …, n-1
e. 在每个子区间 中，创建方程
2. C语言实现
用C语言写了一个三次样条插值(自然边界)的S-Function，代码如下：
View Code
#define S_FUNCTION_NAME cubic
#define S_FUNCTION_LEVEL 2#include”simstruc.h”#include”malloc.h” //方便使用变量定义数组大小
static void mdlInitializeSizes(SimStruct *S)
{/*参数只有一个，是n乘2的定点数组[xi, yi]:
* [ x1，y1;
* x2, y2;
* …, …;
* xn, yn;*/ssSetNumSFcnParams(S,1);if (ssGetNumSFcnParams(S) != ssGetSFcnParamsCount(S)) return;
ssSetNumContStates(S,0);
ssSetNumDiscStates(S,0);if (!ssSetNumInputPorts(S, 1)) return; //输入是x
ssSetInputPortWidth(S, 0, 1);
ssSetInputPortRequiredContiguous(S,0, true);
ssSetInputPortDirectFeedThrough(S,0, 1);if (!ssSetNumOutputPorts(S, 1)) return; //输出是S(x)
ssSetOutputPortWidth(S, 0, 1);
ssSetNumSampleTimes(S,1);
ssSetNumRWork(S,0);
ssSetNumIWork(S,0);
ssSetNumPWork(S,0);
ssSetNumModes(S,0);
ssSetNumNonsampledZCs(S,0);
ssSetSimStateCompliance(S, USE_DEFAULT_SIM_STATE);
ssSetOptions(S,0);
}static void mdlInitializeSampleTimes(SimStruct *S)
{
ssSetSampleTime(S,0, CONTINUOUS_SAMPLE_TIME);
ssSetOffsetTime(S,0, 0.0);
}#define MDL_INITIALIZE_CONDITIONS
#if defined(MDL_INITIALIZE_CONDITIONS)
static void mdlInitializeConditions(SimStruct *S)
{
}#endif
#define MDL_START
#if defined(MDL_START)
static void mdlStart(SimStruct *S)
{
}#endif /* MDL_START */
static void mdlOutputs(SimStruct *S, int_T tid)
{const real_T *map = mxGetPr(ssGetSFcnParam(S,0)); //获取定点数据
const int_T *mapSize = mxGetDimensions(ssGetSFcnParam(S,0)); //定点数组维数
const real_T *x = (const real_T*) ssGetInputPortSignal(S,0); //输入x
real_T *y = ssGetOutputPortSignal(S,0); //输出y
int_T step = 0; //输入x在定点数中的位置
int_T i;
real_T yval;for (i = 0; i < mapSize[0]; i++)
{if (x[0] >= map[i] && x[0] < map[i + 1])
{
step=i;break;
}
}
cubic_getval(&yval, mapSize, map, x[0], step);
y[0] =yval;
}//自然边界的三次样条曲线函数
void cubic_getval(real_T* y, const int_T* size, const real_T* map, const real_T x, constint_T step)
{
int_T n= size[0];//曲线系数
real_T* ai = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* bi = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* ci = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* di = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* h = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); //x的??
/*M矩阵的系数
*[B0, C0, …
*[A1, B1, C1, …
*[0, A2, B2, C2, …
*[0, … An-1, Bn-1]*/real_T* A = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T* B = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T* C = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T* D = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //等号右边的常数矩阵
real_T* E = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //M矩阵
real_T* M = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n)); //包含端点的M矩阵
int_T i;//计算x的步长
for ( i = 0; i < n -1; i++)
{
h[i]= map[i + 1] -map[i];
}//指定系数
for( i = 0; i< n – 3; i++)
{
A[i]= h[i]; //忽略A[0]
B[i] = 2 * (h[i] + h[i+1]);
C[i]= h[i+1]; //忽略C(n-1)
}//指定常数D
for (i = 0; i
{
D[i]= 6 * ((map[n + i + 2] – map[n + i + 1]) / h[i + 1] – (map[n + i + 1] – map[n + i]) /h[i]);
}//求解三对角矩阵，结果赋值给E
TDMA(E, n-3, A, B, C, D);
M[0] = 0; //自然边界的首端M为0
M[n-1] = 0; //自然边界的末端M为0
for(i=1; i
{
M[i]= E[i-1]; //其它的M值
}//?算三次?条曲?的系数
for( i = 0; i < n-1; i++)
{
ai[i]= map[n +i];
bi[i]= (map[n + i + 1] – map[n + i]) / h[i] – (2 * h[i] * M[i] + h[i] * M[i + 1]) / 6;
ci[i]= M[i] / 2;
di[i]= (M[i + 1] – M[i]) / (6 *h[i]);
}*y = ai[step] + bi[step]*(x – map[step]) + ci[step] * (x – map[step]) * (x – map[step]) + di[step] * (x – map[step]) * (x – map[step]) * (x -map[step]);
free(h);
free(A);
free(B);
free(C);
free(D);
free(E);
free(M);
free(ai);
free(bi);
free(ci);
free(di);
}void TDMA(real_T* X, const int_T n, real_T* A, real_T* B, real_T* C, real_T*D)
{
int_T i;
real_T tmp;//上三角矩阵
C[0] = C[0] / B[0];
D[0] = D[0] / B[0];for(i = 1; i
{
tmp= (B[i] – A[i] * C[i-1]);
C[i]= C[i] /tmp;
D[i]= (D[i] – A[i] * D[i-1]) /tmp;
}//直接求出X的最后一个值
X[n-1] = D[n-1];//逆向迭代， 求出X
for(i = n-2; i>=0; i–)
{
X[i]= D[i] – C[i] * X[i+1];
}
}#define MDL_UPDATE
#if defined(MDL_UPDATE)
static void mdlUpdate(SimStruct *S, int_T tid)
{
}#endif
#define MDL_DERIVATIVES
#if defined(MDL_DERIVATIVES)
static void mdlDerivatives(SimStruct *S)
{
}#endif
static void mdlTerminate(SimStruct *S)
{
}
#ifdef MATLAB_MEX_FILE
#include”simulink.c”
#else#include”cg_sfun.h”
#endif
3. 例子
以y=sin(x)为例, x步长为1，x取值范围是[0,10]。对它使用三次样条插值，插值前后对比如下：
