(我要挑战不用求和符号写文章！)

本文中函数都指一元函数，自变量和因变量都是标量，微分都指常微分。

定义

(线性微分算子)：设

为一个微分算子，若对于任意两个函数

、

和常数

、

，该算子满足

，

则称

为线性微分算子。

引理

：

为线性微分算子的充分必要条件为，对于任意的一组函数

和一组常数

(这两个矢量的维数要相同)，该算子满足

。

简略的证明：直接令

和

为

维矢量，然后套定义

，可证充分性；用数学归纳法，对

和

的维数进行归纳，可证必要性。

定义

：

。

引理

：设

维矢量

与

无关，

为一个函数列，则

简略的证明：用数学归纳法可证。

引理

：设

为一组关于

的函数，

的维数为

，则微分算子

是线性微分算子。

简略的证明：套用定义

可证。

引理

的推论：设

为

维常矢，则微分算子

是线性微分算子。

引理

(结合律)：

。

证明略。

定义

(线性常系数微分算子)：符合引理

的推论的线性微分算子称为线性常系数微分算子。

定义

(线性微分方程)：设

为一个线性微分算子，则关于函数

的(常)微分方程

称为线性(常)微分方程，其中

为一个函数。

特别地，若

，则该微分方程称为线性齐次微分方程。若

是线性常系数微分算子，则该微分方程称为线性常系数微分方程。

定义

(生成函数)：对于数列

，称函数

为该数列的(普通型)生成函数。

(注：这里并没有引入无穷维的向量，实际上

。)

定义

(指数型生成函数)：对于数列

，称数列

的(普通型)生成函数为

的指数型生成函数。即

。

引理

(幂函数的微分)：设

，则

。

(注：规定负整数的阶乘为无穷大，则当

时

。)

简略的证明：用数学归纳法可证。

引理

(指数型生成函数的微分)：若

为数列

的指数型生成函数，则

为数列

的指数型生成函数。

证明：

(定义

)

(引理

)

(引理

)

(引理

)

(引理

的注)

再由定义

可证。

引理

的推论：

。

引理

(结合律)：

。

证明略。

定义

(零函数)：当自变量取任意值时因变量都取

的函数称为零函数。

引理

：数列

的生成函数为零函数的充分必要条件为对于任意的

有

。

简略的证明：套用定义

和定义

可证充分性；将零函数按Taylor公式展开成幂级数可证必要性。

定义

：

。

引理

(分配律)：

。

证明略。

定义

(数列方程)：设

为一个未知数列，若函数

中显含该数列的项，则方程

称为关于数列

的数列方程。某个数列，若它对于任意的

满足该方程，则它称为该数列方程的特解，该数列方程的全体特解称为该方程的通解。

定义

(数列的线性相关)：若对于一组数列

存在一组不全为

的常数

(

和

维数相同)使得对于任意的

有

，

则称这一组数列线性相关，否则称这一组数列线性无关。

引理

：一组

个数列

线性相关的充分必要条件为，对于任意的

有

。

证明：先证必要性。存在一组不全为

的常数

使得对于任意的

有

(定义

)。

分别令

为

可得

。

令

在第

维上的分量为

，即

，于是

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