回溯算法理论总结

回溯法是一种类似枚举的搜索尝试过程，既然是枚举，那么就会遍历解空间树中的所有解（或者是“路径”），搜索的过程按照DFS原则，而尝试就意味着，在遍历的过程中，有可能到达某一个结点后，发现不能够满足约束条件，在这次尝试中，这条“路”是不优的，将走不通，即无法找到所求的解，那么就会回退到上一步的状态，重新作出选择。如果即满足约束条件，但是依然没有获得有效的解，那么我们就需要在此基础上做下一步选择，即将当前结点当做一个新的根结点。所以经常会使用递归的方法。如果一步步下来的选择结果正好满足我们所求的问题，那么就是一个有效的解。

回溯法思想：在包含问题所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度搜索解空间树。当搜索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被检索一遍才结束。而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍才结束。

若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束。

回溯法中的三个概念：

（1）约束函数：约束函数是根据题意定出的。通过描述合法解的一般特征用于去除不合法的解（即使这个解并不是完整的解），从而避免继续搜索出这个不合法解的剩余部分，起到了剪值函数的作用。因此，约束函数是对于解空间树上的任何节点都有效、等价的。

（2）状态空间树：状态空间树是一个对所有解的图形描述。

（3）扩展节点：当前正求出它的子节点的节点，在DFS中，只允许有一个扩展节点。

        活节点：通过与约束函数对照，节点本身和其父节点均满足约束函数要求的节点。

        死节点: 与活节点正好相反，死节点是在与约束函数对照中，不满足约束函数的节点。那么就不需要求该节点的子节点情况了。

回溯法的步骤：

（1）明确问题的解空间树内容，比如，在求组合问题时，最后有效解中元素是否可重复的，元素个数是否是固定的等。且保证问题的解空间中应至少包含问题的一个解。

（2）确定结点的扩展搜索规则，在回溯法中，就是深度优先遍历规则。扩展节点就是当前正在求出它的子节点的节点，在DFS中，只允许有一个扩展节点。

（3）构造约束条件。作为剪枝函数，避免无效搜索。

DFS实现回溯的具体流程如下：

（1）设置初始化的方案（给变量赋初值，读入已知数据等）；

（2）选择所到深度层（k）中其中的一个节点进行试探，如果k层的节点已经全部都试探完毕，则进入（7）；

（3）如果试探不成功（不满足约束条件），则转入（2）；

（4）如果试探成功，则进入下一个深度层进行试探。

（5）如果正确解还没找到，则进入（2）；

（6）如果找到了正解，如果问题只求其中的一个解，那么可以退出程序了，如果是求一组解，那么将该种解存储；

（7）退回上一步的状态（深度为k-1时，变量的状态），如果没有退到头，则进入（2）；

（8）已退到头则结束或打印无解。

在使用回溯法解决实际问题时，往往会和递归算法结合，更容易解决问题，但是也可以使用非递归的方法实现，这就需要具体情况进行分析了。

相关题目的链接

（1）机器人的运动轨迹

（2）矩阵中的路径

参考资源

http://www.cnblogs.com/steven_oyj/archive/2010/05/22/1741376.html

http://www.cnblogs.com/wuyuegb2312/p/3273337.html#intro

http://www.cnblogs.com/jiangchen/p/5393849.html

http://blog.csdn.net/yanerhao/article/details/68561290

http://www.cnblogs.com/jiangchen/p/5931754.html

https://www.cnblogs.com/jiangchen/p/5930049.html