第
4
章
计算函数零点和极值点的迭代法
本章讨论非线性方程(组)的求解问题
4.1
不动点迭代法及其收敛性
1
．不动点
设非线性方程组
f
(
x
) = 0
(4.1-1)
等价：
x
=
(
x
)
(4.1-2)
则有迭代格式：
x
(
k
+1)
=
(
x
(
k
)
)
，
k = 0
，
1
，
2
，
…
若
连续，
且迭代序列
{
x
(
k
)
}
收敛到
x
*
，则两边取极限得
x
*
=
(
x
*
)
，即
x
*
满足
(4.1-2)
，从而满
足
(4.1-1)
，即
x
*
为
f
零点。
称
x
*
为
(
x
)
的不动点。
注：
(1)
求零点
求不动点
(2)
(.)
称为迭代函数，
{
x
(
k
)
}
称为迭代序列
(3)
不同方法构造迭代函数，得不同的迭代序列
2
．迭代法的基本问题
(1)
如何构造适当的迭代函数
(.)
使迭代序列
{
x
(
k
)
}
收敛
(2)
收敛的速度和误差
(3)
如何加速
4.1.1
解一元方程的迭代法
1.
根的隔离
设一元方程
f
(
x
)
=
0
，
f
连续，其实根可能有很多，需将各根隔离，即
f
在
[
a
，
b
]
内有且仅有
一根。
方法：设
f
C[
a
，
b
]
，
f
(
a
)
f
(
b
)
，且
f
在
[
a
，
b
]
上单调，则
f
在
[
a
，
b
]
内有且仅有一根。
2.
迭代序列的收敛性
因为可以有多种迭代函数，所产生的迭代序列
{
x
(
k
)
}
有可能：
(1)
收敛快
(2)
收敛慢
(3)
不收敛
例
1
f
(
x
) =
x
3
–
x
–
1 = 0
，求
f
在
x
= 1.5
附近的根，初值取
x
(0) = 1.5
。
(p328)
