AVL树
AVL树是带有平衡条件的二叉查找树。平衡条件为：某节点左右子树的高度差不超过1。
平衡操作-旋转
在AVL树的插入和删除操作中，需要更新树节点的高度信息以检查AVL树的平衡状态，如果插入和删除后出现了不平衡，还需要通过旋转操作来修正AVL树的平衡状态。
插入后平衡
假设插入后非平衡节点为N，4种情况和修正方案：
- 向N的左儿子的左子树插入：右旋
- 向N的右儿子的右子树插入：左旋
- 向N的左儿子的右子树插入：先左旋，再右旋
- 向N的右儿子的左子树插入：先右旋，再左旋
单旋转过程图：
上图为右旋，左旋是对称的，略去不表
从非递归编程的角度出发，基于这张图，分析要完成一次单旋转我们需要做哪些工作：
- 保存路径信息。在插入过程中用栈保存路径信息。
- 更新高度信息，检查平衡状态。插入完成后，从栈中依次弹出节点，更新其高度信息，并检查其平衡状态。如果没有遇到不平衡节点，则插入完成；如果遇到非平衡节点，继续弹出一个节点N_other代表树的其余部分。
- 旋转。图中是右旋。比较旋转前后的状态，大致需要五步操作完成。
3.1 确定插入方式。从非平衡节点N1出发，与新节点N3比较两次即可确定是左左插入。
3.2 周知树其余部分。更新树其余部分的儿子指向新的节点N2。
3.3 儿子移交。将N2的右子树移交给N1的左儿子。
3.4 新根上任。原N1作为N2的右儿子。
3.5 高度信息更新。观察发现旋转过程中，只有N_other，N1，N2的高度信息可能发生变化，重新为它们计算高度信息。
3.6 总结。这四步可以分为三步：1、确定插入方式2、更新三个相关节点的左右儿子信息3、更新三个节点的高度信息. - 更新路径上余下节点的高度信息。
至此一次完整的左左插入过程就完成了。
双旋转过程图：
上图是先左后右双旋，先右后左是对称的，略去不表
双旋转本质上是独立的两次单旋转。
以上图为例：在确定插入方式为左右插入后，确定应该左右旋转。此时读取到非平衡节点为N1，但是对于单左旋来说，应指定其非平衡节点为N2节点。左旋完成后，再以N1节点作为非平衡节点进行右旋。
删除后平衡
AVL树和二叉查找树的删除操作情况一致，都分为三种情况，只不过AVL树在删除节点后需要重新检查平衡性并修正，同时，删除操作与插入操作后的平衡修正区别在于，插入操作后只需要对插入栈中的弹出的第一个非平衡节点进行修正，而删除操作需要修正栈中的所有非平衡节点。
三种情况如下：假设被删除节点为N
- N为叶子节点：直接删除
- 被N只有一个儿子：将父亲节点的相应儿子引用直接指向N的儿子
- N有两个儿子：找到N的右子树中最小的节点N_R_MIN，该节点一定无左儿子；我们将N_R_MIN的值赋给N节点，然后删除N_R_MIN即可。（此时删除N_R_MIN节点属于前两种情况）
删除操作的大致步骤如下：
- 以前两种情况为基础尝试删除节点，并将访问节点入栈。
- 如果尝试删除成功，则依次检查栈顶节点的平衡状态，遇到非平衡节点，即进行旋转平衡，直到栈空。
- 如果尝试删除失败，证明是第三种情况。这时先找到被删除节点的右子树最小节点并删除它，将访问节点继续入栈。
- 再依次检查栈顶节点的平衡状态和修正直到栈空。
对于删除操作造成的非平衡状态的修正，可以这样理解：对左或者右子树的删除操作相当于对右或者左子树的插入操作，然后再对应上插入的四种情况选择相应的旋转就好了。
以下为代码实现：
public class AVLBalanceTree<T extends Comparable<T>> {
private TreeNode<T> root;
public AVLBalanceTree() {
}
private class TreeNode<E> {
T element;
int height;
TreeNode<T> left;
TreeNode<T> right;
TreeNode(T e) {
element = e;
}
boolean isBalanced() {
int leftHeight = left == null ? -1 : left.height;
int rightHeight = right == null ? -1 : right.height;
return Math.abs(leftHeight - rightHeight) <= 1 ? true : false;
}
public String toString() {
return "Element:" + element + " Height:" + height + " Balanced:" + isBalanced();
}
}
private int calHeight(TreeNode<T> node) {
if (node == null) {
return -1;
}
int leftHeight = node.left == null ? -1 : node.left.height;
int rightHeight = node.right == null ? -1 : node.right.height;
return Math.max(leftHeight, rightHeight) + 1;
}
// 非递归算法部分
public void insertNonRecursive(T e) {
LinkedList<TreeNode<T>> trace = new LinkedList<>();
insertNonRecursive0(e, trace);
reBalanceAfterInsert(trace, e);
}
private void reBalanceAfterInsert(LinkedList<TreeNode<T>> trace, T e) {
TreeNode<T> unBalanceNode = null;
TreeNode<T> unBalNodeParent = null;
TreeNode<T> n = null;
while ((n = trace.peek()) != null && unBalanceNode == null) {
n = trace.pop();
n.height = calHeight(n);
if (!n.isBalanced()) {
unBalanceNode = n;
}
}
if (trace.peek() != null) {
unBalNodeParent = trace.pop();
}
// 平衡状态 返回
if (unBalanceNode == null) {
return;
}
// 确定插入方式
int compareInt = unBalanceNode.element.compareTo(e);
if (compareInt > 0) {
if (calHeight(unBalanceNode.left.left) - calHeight(unBalanceNode.left.right) > 0) {
rotateRight(unBalanceNode, unBalNodeParent);
} else {
// 先左旋时，视原非平衡节点的左儿子为非平衡节点
rotateLeft(unBalanceNode.left, unBalanceNode);
rotateRight(unBalanceNode, unBalNodeParent);
}
} else if (compareInt < 0) {
if (calHeight(unBalanceNode.right.left) - calHeight(unBalanceNode.right.right) < 0) {
rotateLeft(unBalanceNode, unBalNodeParent);
} else {
rotateRight(unBalanceNode.right, unBalanceNode);
rotateLeft(unBalanceNode, unBalNodeParent);
}
}
// 旋转完毕，旋转子树的高度信息已经更新过了，继续更新非平衡节点以上的高度信息
while ((n = trace.peek()) != null) {
n = trace.pop();
n.height = calHeight(n);
}
}
private void rotateRight(TreeNode<T> unBalanceNode, TreeNode<T> unBalNodeParent) {
TreeNode<T> newRoot = unBalanceNode.left;
TreeNode<T> ubParent = unBalNodeParent;
// 周知树其余部分
if (ubParent != null) {
if (ubParent.left != null && ubParent.left.equals(unBalanceNode)) {
ubParent.left = newRoot;
} else {
ubParent.right = newRoot;
}
} else {
this.root = newRoot;
}
// 儿子移交
if (newRoot.right != null) {
unBalanceNode.left = newRoot.right;
} else {
unBalanceNode.left = null;
}
// 新根上任，左儿子无需处理
newRoot.right = unBalanceNode;
// 更新三个节点的高度信息
unBalanceNode.height = calHeight(unBalanceNode);
newRoot.height = calHeight(newRoot);
if (ubParent != null) {
ubParent.height = calHeight(ubParent);
}
}
private void rotateLeft(TreeNode<T> unBalanceNode, TreeNode<T> unBalNodeParent) {
TreeNode<T> newRoot = unBalanceNode.right;
TreeNode<T> ubParent = unBalNodeParent;
if (ubParent != null) {
if (ubParent.left != null && ubParent.left.equals(unBalanceNode)) {
ubParent.left = newRoot;
} else {
ubParent.right = newRoot;
}
} else {
this.root = newRoot;
}
if (newRoot.left != null) {
unBalanceNode.right = newRoot.left;
} else {
unBalanceNode.right = null;
}
newRoot.left = unBalanceNode;
unBalanceNode.height = calHeight(unBalanceNode);
newRoot.height = calHeight(newRoot);
if (ubParent != null) {
ubParent.height = calHeight(ubParent);
}
}
private void insertNonRecursive0(T e, LinkedList<TreeNode<T>> trace) {
TreeNode<T> node = new TreeNode<>(e);
if (root == null) {
root = node;
root.height = 0;
return;
}
TreeNode<T> current = root;
trace.push(current);
int compareInt = 0;
while (true) {
compareInt = current.element.compareTo(e);
if (compareInt > 0) {
if (current.left == null) {
current.left = node;
trace.push(node);
return;
}
current = current.left;
trace.push(current);
} else if (compareInt < 0) {
if (current.right == null) {
current.right = node;
trace.push(node);
return;
}
current = current.right;
trace.push(current);
} else {
// 相等 不插入
return;
}
}
}
public void removeNonRecursive(T e) {
LinkedList<TreeNode<T>> trace = new LinkedList<>();
TreeNode<T> current = root;
trace.push(current);
// 尝试删除，该节点没有儿子或者只有一个儿子
if (tryRemove(e, trace, current)) {
// 更新节点高度信息，修正平衡状态
// 此时栈顶为被删除节点的父节点或者空栈
if (trace.isEmpty()) {
return;
}
// 弹出栈，更新高度信息并检查平衡
reBalanceAfterRemove(trace, e);
} else {
// 尝试失败，该节点有两个儿子，此时栈顶元素即为将要删除的节点A
current = trace.peek();
// 找到A的右子树中最小的节点B，该节点没有左儿子
TreeNode<T> rMin = findMin(current.right);
// 此时删除目标变为最小的右儿子B
tryRemove(rMin.element, trace, current);
reBalanceAfterRemove(trace, rMin.element);
// 删除完成，将B的值替换到原来要删除的节点A上
current.element = rMin.element;
}
}
private void reBalanceAfterRemove(LinkedList<TreeNode<T>> trace, T e) {
while (true) {
TreeNode<T> n = null;
TreeNode<T> unBalanceNode = null;
TreeNode<T> unBalNodeParent = null;
while ((n = trace.peek()) != null && unBalanceNode == null) {
n = trace.pop();
n.height = calHeight(n);
if (!n.isBalanced()) {
unBalanceNode = n;
}
}
// 平衡态
if (unBalanceNode == null) {
return;
}
unBalNodeParent = trace.peek();
int compareInt = unBalanceNode.element.compareTo(e);
// 被删除节点是不平衡节点的左儿子，则右子树高于左子树
if (compareInt > 0) {
// 如果不平衡节点的右儿子的左子树高于右子树，则需要先右后左双旋转（相当于右左插入）
if (calHeight(unBalanceNode.right.left) - calHeight(unBalanceNode.right.right) > 0) {
rotateRight(unBalanceNode.right, unBalanceNode);
rotateLeft(unBalanceNode, unBalNodeParent);
} else {
// 相等和小于的情况 都可以通过左旋平衡
rotateLeft(unBalanceNode, unBalNodeParent);
}
} else {
// 相当于左右插入
if (calHeight(unBalanceNode.left.left) - calHeight(unBalanceNode.left.right) < 0) {
rotateLeft(unBalanceNode.left, unBalanceNode);
rotateRight(unBalanceNode, unBalNodeParent);
} else {
// 相等和大于的情况 都可以通过右旋平衡
rotateRight(unBalanceNode, unBalNodeParent);
}
}
for (TreeNode<T> n1 : trace) {
n1.height = calHeight(n1);
}
}
}
private boolean tryRemove(T e, LinkedList<TreeNode<T>> trace, TreeNode<T> current) {
while (true) {
int compareInt = current.element.compareTo(e);
if (compareInt > 0) {
if (current.left == null) {
// 没有找到节点 直接返回
return true;
}
current = current.left;
trace.push(current);
} else if (compareInt < 0) {
if (current.right == null) {
// 没有找到节点
return true;
}
current = current.right;
trace.push(current);
} else {
// 找到元素，情况一：该节点为叶子节点
if (current.left == null && current.right == null) {
// 弹出被删除节点
trace.pop();
if (current == root) {
root = null;
return true;
}
TreeNode<T> parent = trace.peek();
// 查询父节点
if (parent.left == current) {
parent.left = null;
return true;
} else {
parent.right = null;
return true;
}
}
// 找到元素，情况二：该节点只有一个儿子
if (current.left == null) {
trace.pop();// 弹出被删除节点
TreeNode<T> son = current.right;
if (current == root) {
root = son;
return true;
}
TreeNode<T> parent = trace.peek();
if (parent.left == current) {
parent.left = son;
return true;
} else {
parent.right = son;
return true;
}
}
if (current.right == null) {
trace.pop();// 弹出被删除节点
TreeNode<T> son = current.left;
if (current == root) {
root = son;
return true;
}
TreeNode<T> parent = trace.peek();
if (parent.left == current) {
parent.left = son;
return true;
} else {
parent.right = son;
return true;
}
}
// 找到节点，情况三：但是节点有两个儿子，返回false
return false;
}
}
}
}