01揹包问题带来的思考

2024年6月10日 87次阅读

01揹包问题的描述

    给定最大w，和n个物体，每个物体有wi、vi属性，求解使得选中物体的wi
    之和小于最大w，同时要使得vi最大。

涉及的算法————动态规划dp

    对于选择的物体我们用一个dp[n][w](n为物品个数，w为总重)的数组存储
    ，则可以得知这样有两种情况：
    （1）当dp[n][w]时，揹包大小小于物体大小时：
        dp[n][w] = dp[n-1][w]
    （2）当揹包大小大于物体大小时：
        dp[n][w] = max(dp[n-1][w], dp[n-1][w-wi]+vi);
        即选择放入物体和不放入物体中使得总重最大的一项。
    
    代码重要部分
    for(int j=1;j<=n;j++){
        for(int k=0;k<=t;k++){
            if(k<w[j]){
                dp[j][k] = dp[j-1][k];
            }else{
                dp[j][k] = max(dp[j-1][k-w[j]]+v[j], dp[j-1][k]);
            }
        }
    }

算法优化————降低空间占用

    （1）从上面可知，我们获取dp[j][k]仅需要dp[j-1][k]的数据，于是可以仅采用一个一位数组存储
        dp[w],w为最大揹包容量。
    （2）从迭代过程可知，dp[k]会用到dp[k-w[j]]，即后方迭代需要用到上次迭代的前方数据，
        如果我们从前往后，前面的数据就会被覆蓋，导致后方出错，因此我们因该从后往前迭代.
        这样只会改变后方数据，不会对前方造成影响
        
    for(int j=1;j<=n;j++){
        for(int k=w;k>=0;k--){
            if(k>=w[j]){
                dp[k] = max(dp[k], dp[k-w[j]]+v[j])
            }
        }
    }
    
    则dp[w]就为我们寻找的v的最大值。

01揹包问题变形

    （1）平分一堆数字。
    （2）将一对数字分成两份，使其差最小。
    
    当成01揹包问题处理，w为数字和的一半，wi=vi=自身的值;
    
    for(int j=0;j<y;j++){
        for(int k=temp;k>=0;k--){
            if(k>=v[j]){
                dp[k] = max(dp[k], dp[k-v[j]]+v[j]);
            }
        }
    }
    
    则dp[w]就为我们寻找的v的最大值,若最大值等于sum/2，则可以二等分。
点赞