NP-hard问题：比NPC更难，通常在多项式时间内无法验证一个解的正确性。几个复杂度的区别可以看NPC介绍。

常见证明

我们要证明一个问题A是NP-hard问题一般可以分为两步：

1) 对问题A给定限制条件得到一个特例B问题	
2）证明问题B是NPC问题。

以下罗列四个较直观简单的例子：

1. Dense Induced Subgraph

问题：给定图 G G G，正整数 k k k和 l l l，是否存在 k k k个点的生成子图包含最少 l l l条边。
证明：令 l = C k 2 l=C_k^2 l=Ck2​，那么该问题变成Clique问题（NPC问题）
解释： k k k个点的完全子图最多的边包含 C k 2 C_k^2 Ck2​，所以当 l = C k 2 l=C_k^2 l=Ck2​，那么原问题变成寻找 k k k个点的子图且是完全图，那么就是Clique问题。

1. Edge Packing

问题：给定图 G G G，正整数 k k k和 l l l，图 G G G是否存在 l l l条边与最多 k k k个点相邻。
证明：令 l = C k 2 l=C_k^2 l=Ck2​，那么该问题变成Clique问题（NPC问题）
解释： k k k个点的完全子图最多的边包含 C k 2 C_k^2 Ck2​，那么当 l = C k 2 l=C_k^2 l=Ck2​，最少需要 k k k个点，此时原问题变成Clique问题。

1. Hitting Rectangles

问题：平面上有一组长方形 R R R，一组点 P P P，和一个正整数 k k k，是否可以从 P P P中选择 k k k个点，使得任意一个长方形上都有点。
证明：特例是点覆蓋。
解释：绘制一个图G， u u u和 v v v是 P P P中的两个点， u u u和 v v v之间如果有边，则表示一个长方形。那么在这种情况下，需要覆蓋所有的边，该问题就成了点覆蓋问题。

1. Eulerian Subgraph

问题：给定图 G G G，正整数 k k k，图 G G G中是否存在Eulerian子图恰好包含 k k k条边。
证明：对于Cubic Graphs(所有点的度都等于3)，令 k = n k=n k=n，那么该问题就等价成哈密尔顿回路问题，是NPC复杂度。
解释： k = n k=n k=n时，可以证明所有的点都只经过一次，因为每个点的度数都不超过3，如果经过两次，度数就为4。