最长公共子序列

2024年6月5日 101次阅读

最长公共子序列

最长公共子序列是经典的动态规划问题，下面从动态规划的两个重要特征，最优子结构和

子问题重叠来分析问题，同时要保证子问题的完整性。

  • 最优子结构

    最优子结构的意思就是原问题的最优解中包含子问题的最优解

    原问题: X = ( x 1 , x 2 , x 3 , . . . x m ) X=(x_1, x_2, x_3,…x_m) X=(x1​,x2​,x3​,...xm​), Y = ( y 1 , y 2 , y 3 . . . y n ) Y=(y_1, y_2, y_3…y_n) Y=(y1​,y2​,y3​...yn​)是两个序列,求最长的

    Z = ( z 1 , z 2 , z 3 , . . . z k ) Z=(z_1, z_2, z_3,…z_k) Z=(z1​,z2​,z3​,...zk​)使得 Z Z Z同时是 X , Y X,Y X,Y的子序列

    假设 Z = ( z 1 , z 2 , z 3 , . . . z k ) Z=(z_1, z_2, z_3,…z_k) Z=(z1​,z2​,z3​,...zk​)是原问题的最优解，则以下成立

    • 如果 x 1 = = y 1 x_1==y_1 x1​==y1​,则 ( z 2 , z 3 , z 4 , . . . z k ) (z_2, z_3, z_4,…z_k) (z2​,z3​,z4​,...zk​)是子问题求 ( x 2 , x 3 , . . x m ) (x_2,x_3,..x_m) (x2​,x3​,..xm​)和 ( y 2 , y 3 , . . . y n ) (y_2,y_3,…y_n) (y2​,y3​,...yn​)

      的最长公共子序列的最优解

    • 如果 x 1 ! = y 1 x_1!=y_1 x1​!=y1​,则 ( z 1 , z 2 , . . . z k ) (z_1,z_2,…z_k) (z1​,z2​,...zk​)是子问题求 ( x 1 , x 2 , . . . x m ) (x_1, x_2,…x_m) (x1​,x2​,...xm​)和 ( y 2 , y 3 , . . y n ) (y_2,y_3,..y_n) (y2​,y3​,..yn​)的

      最长公共子序列的最优解，或者是子问题求 ( x 2 , x 3 , . . . x m ) (x_2,x_3,…x_m) (x2​,x3​,...xm​)和 ( y 1 , y 2 , y 3 , . . y n ) (y_1,y_2,y_3,..y_n) (y1​,y2​,y3​,..yn​)的最

      长公共子序列的最优解

    证明

    • 如果 ( z 2 , z 3 , z 4 , . . . z k ) (z_2, z_3, z_4,…z_k) (z2​,z3​,z4​,...zk​)不是子问题的最优解，则存在比其更长的公共子序列是子问题

      的最优解，则原问题存在比 ( z 1 , z 2 , z 3 . . . z n ) (z_1, z_2, z_3…z_n) (z1​,z2​,z3​...zn​)更长的最优解，与假设矛盾，故不成立

    • 如果 ( z 1 , z 2 , z 3 , . . z 4 ) (z_1,z_2,z_3,..z_4) (z1​,z2​,z3​,..z4​)不是子问题的最优解，则存在比其更长的公共子序列是子问题的

      最优解，在这种情况下原问题的最优解得长度就会大于 ( z 1 , z 2 , z 3 . . . z n ) (z_1, z_2, z_3…z_n) (z1​,z2​,z3​...zn​),与假设矛盾

      或者的情况证明类似

  • 子问题重叠

    假设 F ( m , n ) F(m,n) F(m,n)是长度分别为m和n的序列 X , Y X,Y X,Y的最大公共子序列的长度,则由上面可以得到

    一下公式：
    F ( m , n ) = { 0     若 m = 0   o r   n = 0 F ( m − 1 , n − 1 ) + 1     若 x m = = y n    ( m > 0   a n d   n > 0 ) m a x ( F ( m , n − 1 ) , F ( m − 1 , n ) )     若 x m ! = y n   ( m > 0   a n d   n > 0 ) F(m,n)=\left\{ \begin{aligned} 0 \ \ \ 若m=0 \ or \ n =0 \\ F(m-1, n-1)+1 \ \ \ 若x_m==y_n\ \ (m>0 \ and \ n > 0) \\ max(F(m,n-1), F(m-1, n)) \ \ \ 若x_m!=y_n \ (m>0 \ and \ n >0) \end{aligned} \right. F(m,n)=⎩⎪⎨⎪⎧​0   若m=0 or n=0F(m−1,n−1)+1   若xm​==yn​  (m>0 and n>0)max(F(m,n−1),F(m−1,n))   若xm​!=yn​ (m>0 and n>0)​
    从公式可以看出，求解原问题的时候回重复计算某些子问题

  • 实例 POJ1458

    AC代码

    import java.util.Scanner;
import java.io.File;
import java.io.FileNotFoundException;

public class Main{
    public static void main(String args[]) {
        try{
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int arr[][] = new int[1000][1000];
        while(scanner.hasNext()) {
            String X = scanner.next();
            
            String Y = scanner.next();

            int m = X.length(); int n = Y.length();

            for(int i = 0; i <= m; i++)
                for(int j = 0; j <= n; j++)
                    arr[i][j] = 0;

            for(int i = 1; i <= m; i++)
                for(int j = 1; j <= n; j++) {
                    if(X.charAt(i-1) == Y.charAt(j-1)) {
                        arr[i][j] = arr[i-1][j-1] + 1;
                    }else{
                        arr[i][j] = Math.max(arr[i-1][j], arr[i][j-1]);
                    }
                }
            System.out.println(arr[m][n]);
        }
    }catch(Exception e) {
        e.printStackTrace();
    }
    }
}
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