有多少种硬币组合，更优解法

2024年6月10日 219次阅读

写在前面的自我检讨 v2

上周我发布了一篇博文有多少种硬币组合——找出独特子数组之和，是关于有多少种硬币组合的算法题的解法。虽然算法本身能够给出一个正确答案，可是仔细想来，我却没办法给出一个简单直接的解释为什么这样跑可以奏效。好的算法应该是能够以一种通俗易懂的方法教给别人的，如果连做出这道算法题的人都无法解释清楚，那即便这个算法能够跑起来，也不能算好吧。

就这个问题，一位高人给出了一个更好的解决方式，通俗易懂。听完之后，我真是不得不服功力之高深呐~

问题和复制粘贴的分析

如果你有一个硬币数组和一个代表其数量的数组，如何得到一共有多少种不同组合所得的和？

比如：硬币数组[10, 50, 100]，和代表其数量的数组[1, 2, 1]就表示这里一共有三种硬币，1枚10分，2枚50分和1枚100分硬币。那么其可能的排列组合则包括

  1. 10 = 10
  2. 50 = 50
  3. 100 = 100
  4. 10 + 50 = 60
  5. 10 + 100 = 110
  6. 50 + 50 = 100
  7. 50 + 100 = 150
  8. 10 + 50 + 50 = 110
  9. 10 + 50 + 100 = 160
  10. 50 + 50 + 100 = 200
  11. 10 + 50 + 50 + 100 = 210

则，不重复的值则包括加黑的部分，一共是9个。

接下来是正经分析

第一步：将所有硬币组成一个数组

首先，上一篇博文里的第一步和第二步是正确的，我们确实需要将所有硬币组合起来，组成一个新的数组coinList，其中包含了所有的硬币。则这部分的代码还是继续使用。

代码如下：

/**
 * Count number of 
 * @param {Array<Number>} coins array contains coins with different values
 * @param {Array<Number>} counts array contains corresponding counts of different coins
 * @returns {Number} The count of distinct sums
 */
function countDistinctSum(coins, counts) {
    if(coins.length !== counts.length) {
        return -1;
    }

    const results = {};
    const coinList = [];

    for(let i = 0; i < coins.length; i++){
        for(let j = 0; j < counts[i]; j++) {
            coinList.push(coins[i]);
        }
    }

    // where the beauty of algorithm shows

    return Object.keys(results).length - 1; // Remove the empty 0 coin element
}

第二步：了解所有的组合是如何计算得到的

我们一步一步来看，所有的组合是如何的出来的。假如，现在我们只有一个硬币，1分。则可能性只有1种，那就是[1]。

现在我们增加一个硬币，2分。则可能性则变成了[1, 2, 1+2]，3种。

如果我们再加一个硬币，3分呢？则可能性又变成了[1, 2, 3, 1+2, 1+3，2+3，1+2+3]，7种。

仔细看，当硬币的数量一个一个地增加，可能的组合数量也相应地有规律地再增加。什么规律？？？好像看不是很清楚。那么我们换一种方法来表示呢？

如果将硬币表示为A, B, C。

一枚硬币：A

一枚硬币的时候，是：
A

两枚硬币：A、B

两枚硬币的时候呢？那我们直接在之前的A后面加上一枚新的B

A + B

除此之外，之前的A也应该在里面

A + B

A

再加上新增加的B，则变成了：

A + B

A

B

三枚硬币：A、B、C

这时候加第三枚了，我们在之前的这三种情况下都加上C，则变成了

A + B + C

A + C

B + C

而之前的那三种组合是还存在的，所以整个数组变成了

A + B + C

A + C

B + C

A + B

A

B

最后加上新增加的C，最终得到了

A + B + C

A + C

B + C

A + B

A

B

C

这下是否更清楚了？每当一个新的硬币被加进数组之中时，组合的数量始终是之前的两倍多一个。比如：

  • 1枚硬币时，组合数量是1
  • 2枚硬币时，组合数量是1 * 2 + 1 = 3
  • 3枚硬币时，组合数量是3 * 2 + 1 = 7
  • 4枚硬币时，组合数量是7 * 2 + 1 = 15

……

以此类推

第三步：只储存非重复的值

在计算过程中，难免会遇到许多重复的值。比如两枚硬币都是10分的时候，计算出来的组合是[10, 10, 20]。但其实我们不需要两个10，而只需要[10, 20]就可以了。这个时候我们需要用到Set这种数据结构来储存数据。因为set里面的元素都是非重复的。

比如，一组硬币[10, 50, 50]。处理第一枚硬币的时候，Set里有[10]。

处理第二枚硬币时，对这个Set里的所有元素提取出来并且加上新的硬币值，10 + 50得到了60，并添加得到的和与新添加的这枚硬币值进入进入Set里，得到了[10, 50, 60].

处理第三枚硬币时，还是继续提取出这个Set里的所有元素，并且加上新的硬币值。于是：

  • 10 + 50 = 60
  • 50 + 50 = 100
  • 60 + 50 = 110

将这三个新的和加入Set，去掉重复值之后得到了[10, 50, 60, 100, 110]。然后再把第三枚硬币本身的值，50，也添加进去。但因为50已经存在了，则Set还是[10, 50, 60, 100, 110]。

一直重复循环到最后，我们将得到所有非重复的和。问题至此也被解决了~

大功告成

完整代码

/*
 * Count number of
 * @param {Array<Number>} coins array contains coins with different values
 * @param {Array<Number>} counts array contains corresponding counts of different coins
 * @returns {Number} The count of distinct sums
 */
function countDistinctSum(coins, counts) {
    if(coins.length !== counts.length) {
        return -1;
    }

    const coinList = [];
    for(let i = 0; i < coins.length; i++){
        for(let j = 0; j < counts[i]; j++) {
            coinList.push(coins[i]);
        }
    }
    // Create a new set
    const results = new Set();
    for(let i = 0; i < coinList.length; i++){
        // tempSum is used to store the temporary sum of every element in the set and new coin value
        const tempSum = [];
        for (let it = results.values(), val= null; val = it.next().value; ) {
            tempSum.push(val + coinList[i]);
        }

        // add every sum in tempSum to the set and the set will do automatic duplication removal.
        tempSum.forEach(n => {
            results.add(n);
        });

        // add the new coin value into the set
        results.add(coinList[i]);
    }

    return results.size;
}

测试：

const a = [10, 50, 100];
const b = [1, 2, 1];

console.log('Result:', countDistinctSum(a, b)) // Result: 9
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