每日一练 no.18 约瑟夫问题

2024年6月10日 85次阅读

问题：

据说著名犹太历史学家 Josephus 有过以下的故事：
在罗马人占领桥塔帕特后，39个犹太人与 Josephus 及他的朋友躲到一个洞中，
39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到，于是决定了一个自杀方式，41个人排成一个圆圈，
由第1个人开始报数，每报数到第3人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，
直到所有人都自杀身亡为止。然而 Josephus 和他的朋友并不想自杀，
问他俩安排的哪两个位置可以逃过这场死亡游戏？

解答：

模拟推导：

使用collections模块deque进行模拟：

import collections
def ysf(a, b):
    d = collections.deque(range(1, a+1)) # 将每个人依次编号，放入到队列中
    while d:
        d.rotate(-b) # 队列向左旋转b步
        print(d.pop()) # 将最右边的删除，即自杀的人

if __name__ == '__main__':
    ysf(41,3) # 输出的是自杀的顺序。最后两个是16和31，说明这两个位置可以保证他俩的安全。

数学推导：

n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）: k k+1 k+2 … n-2, n-1, 0, 1, 2, … k-2，并且从k开始报0。
假设x是最终的胜利者，逆推的话容易得到 x’=(x+k)%n ，可以以此逆推到最开始的位置。

# 递归直接求出
def ysf(m,k):   
    if m == 1:
        return 0
    else:
        return (ysf(m-1, k) +k) % m
    
ysf(41, 3) + 1

# 遍历求出结果
def ysf(m, k):
    s = 0
    for i in range(2, m+1):
        s = (s + k) % i
    return s

ysf(41, 3) + 1
点赞