着色问题

2024年6月10日 92次阅读

问题定义

一个圆划分为N个扇形，现用M种颜色对其上色，要求相邻两块扇形的颜色不能相同，问有多少种上色方案？（其中N>=1,M>=3)
注意：不考虑对称性，例如：一个圆划分为2个扇形，用3种颜色上色方案有“黑红，黑白，白红，白黑，红白，红黑”6种，相当于每个扇形都有编号，是不一样的。

解题思路

采用数学归纳的思想。求n个扇形的上色方案，相当于在n-1个扇形中插入一个扇形，这时只需考虑两种情况：
– 1、第1个扇形和第n-1个扇形颜色不一样，这有s(n-1)种情况，此时插入的扇形n有m-2种颜色选择；
– 2、第1个扇形和第n-1个扇形颜色一样(n>3)，这有s(n-2)种情况，此时插入的扇形n有m-1种颜色选择。
– 3、 如果旁边两块颜色不同 那么是color(N-1,M)，那么第N块有M-2种颜色，有color(N-1,M)*（M-2）种可能；
– 4、如果旁边两块颜色相同 那么是color(N-2,M)（相当于可以随便去掉第N块旁边的一块不影响讨论），那么第N块有M-1种颜色，有color(N-2,M)*（M-1）种可能；
由以上分析可得：

s(1) = m; s(2) = m(m-1); s(3) = m(m-1)(m-2); s(n) = s(n-1)*(m-2)+s(n-2)*(m-1);
public class circleColor {  
    public static void main(String[] args){  
        Scanner in=new Scanner(System.in);  
        int n=in.nextInt();  
        int m=in.nextInt();  
        in.close();  
        if (n>=1&&m>=1){  
            System.out.println(color(n,m));  
        }  

    }  

    /** * * @param n 扇形数 * @param m 颜色数量 * @return */  
  public static int color(int n,int m){  
        if(n==1){  
            return m;  
        }  
        if (n==2){  
            return m*(m-1);  
        }  
        if (n==3){  
            return m*(m-1)*(m-2);  
        }else {  
            return color(n-1,m)*(m-2)+color(n-2,m)*(m-1);  //迭代 分两种情况 求和
        }  
    }  
}

转载自https://blog.csdn.net/LUO_CAN/article/details/79565759

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