寒假40多天，希望回去能够独当一面了，所以写下博客来记录自己的学习进度

问题描述：

  假设现有容量m kg的背包，另外有i个物品，重量分别为w[1] w[2] … w[i]（kg）,价值分别为p[1] p[2] … p[i]（元）,将哪些物品放入背包可以使得背包的总价值最大？最大价值是多少？

（示例一：m=10  i=3 重量和价值分别为3kg-4元 4kg-5元 5kg-6元 ）

1，穷举法（把所有情况列出来，比较得到 总价值最大的情况）

  如果容量增大，物品增多，这个方法的运行时间将成指数增长

2，动态规划算法

  我们要求得i个物体放入容量为m(kg)的背包的最大价值（记为c[i，m]）。在选择物品的时候，对于每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。某种物品不能装入多次（可以认为每种物品只有一个），因此该问题被称为0-1背包问题

  对于c[i，m]有下面几种情况：

  a、c[i,0]=c[0,m]=0

  b、c[i,m]=c[i-1,m]  w[i]>m（最后一个物品的重量大于容量，直接舍弃不用）

      w[i]<=m的时候有两种情况，一种是放入i，一种是不放入i

  不放入i c[i,m]=c[i-1,m]

  放入i  c[i,m]=c[i-1,m-w[i]]+p[i]

      c[i,m]=max(不放入i，放入i)

这个递归算法是不带备忘的自顶向下法

思路如下:

设置m为背包重量

wp分别是物品的重量和价值的数组

自顶向下返回值m是可以存储的最大价值

如果物品个数i为0或者物品重量为0，返回0

如果物品重量大于背包承重，返回i-1的自顶向下的方法

之后从最重的物品开始递归求得最佳背包方案

int maxValue1 = UpDown(m – w[i], i – 1, w, p) + p[i];

上面这句求得放了这个w[i]物品之后价值为多少

int maxValue2 = UpDown(m, i – 1, w, p);

这句求得舍弃放了这个物品的背包的价值，递归调用，上面两句分别遍历所有方法

之后就是输出结果了

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Threading.Tasks;

namespace _01背包问题_递归实现_不带备忘的自顶向下法_
{
    class Program
    {
        static void Main(string[] args)
        {
            int m;
            int[] w = {0, 3, 4, 5};
            int[] p = {0, 4, 5, 6};
            Console.WriteLine(UpDown(10,3, w, p));
            Console.WriteLine(UpDown(3, 3, w, p));
            Console.WriteLine(UpDown(4, 3, w, p));
        }
        //m是背包容量
        //i是物品个数
        //wp是物品的重量和价值的数组
        public static int UpDown(int m,int i,int[] w,int[] p)//返回值是m可以存储的最大价值
        {
            if (i == 0 || m == 0) return 0;

            if (w[i] > m)
            {
                return UpDown(m, i - 1, w, p);
            }
            else
            {
                int maxValue1 = UpDown(m - w[i], i - 1, w, p) + p[i];
                int maxValue2 = UpDown(m, i - 1, w, p);
                if (maxValue1 > maxValue2)
                {
                    return maxValue1;
                }
                return maxValue2;
            }
        }
    }
}