ACM：素数线性筛法（素数打表）

2024年6月10日 165次阅读

题目代码：

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h> 

int prime[700000]; 
bool check[10000000]; 

int num = 1;

int judge(int y)
{
    int p[10];
    int i = 0;
    for ( ; i < 10; i++) 
        p[i] = -1;

    i = 0;
    while (y != 0) {
        p[i] = y%10;
        y /= 10;
        i++;
    }
    int j = 0;
    while(p[j] != -1) 
        j++;

    j--;
    i = 0;
    while (i <= j) {
        if (p[i] != p[j]) {
            return 0;
        }
        i++,j--;
    }
    return 1;
}

int main()
{
    int i = 2;
    for ( ; i < 10000000; i++) {
        if (check[i] == 0) {
            prime[num++] = i;
        }
        int j = 1;
        for ( ; j < num; j++) {
            if (prime[j]*i > 10000000) {
                break;
            }
            check[prime[j]*i] = 1;
            if(i % prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
    int a,b;
    while (~scanf("%d %d", &a, &b)) {
        int j;
        for (j = 1; j < 10000000; j++) {
            // 确定下w在prime数组里的下标
            if (prime[j] >= a) {
                break;
            }
        }
        for (i = j; prime[i] <= b && i < num; i++) {
            if (judge(prime[i]) == 1) { // 判断回文
                printf("%d\n",prime[i]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}
  1. 用prime来存储素数，但如何确定小于x范围内素数的大致个数？最简单的公式为x/lnx。但算出的结果是不准确的，大于有百分之几的误差，x越大时误差越小。
  2. 用check数组来标记所有数，初始化为0，若发现下标是合数，空间内放1；
    数组的类型可以定义为bool类型，这道题里如果是int型，空间会超，而bool类型会省很多空间，因为在32位平台c/c++,int为4字节，而bool为1字节（c语言没有bool类型，需要引头文件，c++有，无需引头文件，但无论c还是c++，大小都是1字节）。
  3. 题目给出的范围是1-100000000，但计算时看了下结果，10000000-99999999范围内没有符合的数，所以我们可以将范围缩小为原来的十分之一（可能会有别的更好地处理方法）。
  4. 素数筛法的中心模块在于以下代码：
    int i = 2;
    for ( ; i < 10000000; i++) { //判断i是否为质数
        if (check[i] == 0) { //说明i被小于它的所有数试除过后，标记仍为0
            prime[num++] = i; //记下这个素数
        }
        // 无论这个数是否为素数，都将它一定范围内的倍数试除
        int j = 1;
        // j小于等于已有素数的下标（由于前面为num自增，所以这里不需要等号）
        for ( ; j < num; j++) {
            if (prime[j]*i > 10000000) {
                break;
            }
            check[prime[j]*i] = 1;
            if(i % prime[j] == 0) // 这一句很关键，解析较长写下面
                break;
        }
    }

  • 试除法
    讲筛法前先讲下试除法…不想看的可以略过这几段…
    如果用试除法判断x是否为素数，那只需要尝试所有 小于等于 sqrt(x) 的素数即可。
    为什么要开根号很好理解，但为什么只需要尝试素数？
    例如判断101是否为素数，101开根号取整为10，小于等于10的所有素数为：2，3，5，7。
    因为所有合数都可以分解为多个素数相乘（根据欧拉函数得出的结论），例如这里的6，可以分解为2*3，这些素数必定小于这个合数，即2、3都小于6；当我们判断101是否为素数时，无需尝试它能否整除6，因为我们尝试过2和3，也就相当于尝试了6，省去对合数的尝试，可以省去不必要的重复操作。
    而 小于等于 sqrt(x) 的所有素数，在求解x前，我们都已经算出来了。因此，可以每算出一个质数，就将它保存起来（放在一个数组里）。

  • 素数筛法
    在这个基础上，如果我们将所有要判断的数放在一个容器里，每判断一个数，发现其为质数，那将它所有倍数筛去，即标记为1（容器初始化为0）。但这样又存在一个问题，例如发现3为质数，将它的15倍，即45筛去后，又发现5为质数，将他的9倍晒去，这样一来，45被重复操作，而数据较大时，会有大量的数据被重复操作。
    而前面我们提到过，每个合数由多个素数相乘，则其必有一个最小素数因子，利用这个原理，可以让每个数都被其最小素因子筛去，避免重复操作。
    又可知prime中所有素数都是递增的，当i % prime[j] == 0时，i必定可分解为prime[j]乘上另一个素数k (或i == prime[j])，k必定小于a[j++]（这个简单分析下就能得出结果）；例如，j=1，prime[j]=2，i=4时，i = 2*prime[j]，k=2，下一个prime[j]为3，k=2<3=a[2]。后面的几组数同理。
    因此，每当 i % prime[j] == 0 时就break，因为后面的几组数里的prime[j]都不会是最小素因子。
    当避免了这些重复操作时，成为线性筛法。

  • 试除法与筛法差别
    一开始我以为两者效率会差不多，但经常时间比对发现，线性筛法比试除质数效率高很多，因为对于一些数，例如9，对9开根号为3，我们去尝试小于等于3的质数，即2、3，但是9无法被2整除，判定9为合数的关键步骤在于，9%3 = 0 ，相当于前面对2的尝试浪费了时间。
    而筛法不同，我们没有用2去判定9，而是当确定了3为素数时，直接将3的一些倍数筛去，一步到位，节省时间。

  • 以下为原题：
素数回文

xiaoou33对既是素数又是回文的数特别感兴趣。比如说151既是素数又是个回文。现在xiaoou333想要你帮助他找出某个范围内的素数回文数，请你写个程序找出 a 跟b 之间满足条件的数。(5 <= a < b <= 100,000,000);

Input

这里有许多组数据，每组包括两组数据a跟b。

Output

对每一组数据,按从小到大输出a，b之间所有满足条件的素数回文数（包括a跟b）每组数据之后空一行。

Sample Input

5 500

Sample Output

5
7
11
101
131
151
181
191
313
353
373
383

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