leetcode--Sqrt算法之原理

2024年6月9日 328次阅读

目录：

Sqrt算法之原理

起因

  1. 2018/7/8刷leetcode题碰到一题：

  2. 原题：

    实现 int sqrt(int x) 函数。
计算并返回 x 的平方根，其中 x 是非负整数。        
由于返回类型是整数，结果只保留整数的部分，小数部分将被舍去。

自己想法

  1. 通过遍历的方法 相乘

  2. 代码实现：

    def mySqrt(self, x):
        """ :type x: int :rtype: int """
        i=1
        sum=0;
        while True:
            if i*i>x:
                return i-1
            else:
                i+=1
  3. 结果：悲剧超时，自己也觉得有非常多的无效计算

百度后

牛顿迭代法

  1. 作用
    并不是所有的方程都有求根公式，或者求根公式很复杂，导致求解困难。利用牛顿法，可以迭代求解。
  2. 请平方根方程式 x^2-a=0 的根
  3. 公式介绍：
    我们每次枚举一个值X0，代入方程看是否为根，不是的话则将X0的值变为：
    X0=X0−F(X0)/F′(X0)
    （其中F′(x) 为 F(x) 的导数）
    其证明过程借用了高数中的基本知识泰勒级数，此处不再赘述。

  4. 应用求平方根

    对于该问题我们可以使用牛顿迭代+高精度除法。 
我们以开平方根举例 
对于一个已知的数 a，开根号本质上是求一个X0 使得 X20=a 
也就是求函数 
F(x)=x^2−a 的根 
因为F′(x)=2x
故每次迭代，x的变化值为： 
x=x−(x^2−a)/(2x)=(x+a/x)/2

  5. 代码实现：

     def mySqrt(self, x):
                """ :type x: int :rtype: int """
                r=x
                while r*r>x:
                    r=(r+x//r)//2
                return r

  6. 底层优化
    虽然sqrt() 已经很方便，但确实是存在比其更强大的手写算法，这个黑科技来自游戏雷神之锤3的源代码：（细节见末尾推荐文章）

    int sqrt(float x) { 
    if(x == 0) return 0; 
    float result = x; 
    float xhalf = 0.5f*result; 
    int i = *(int*)&result; 
    i = 0x5f375a86- (i>>1); // what the fuck? 
    result = *(float*)&i; 
    result = result*(1.5f-xhalf*result*result); // Newton step, repeating increases accuracy 
    result = result*(1.5f-xhalf*result*result); 
    return 1.0f/result; 
}

推荐链接学习

地址：详细sqrt算法解析地址

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