判断素数与欧拉筛

2024年6月9日 169次阅读

对于一个数，判断是否为素数，按照性质暴力枚举每一个，时间复杂度就是O（n），今天，不讨论这个，讨论一下更高效的方法。

一、

这是我在一篇博客看到的方法，时间复杂度为O（sqr（n）/3）：

https://blog.csdn.net/huang_miao_xin/article/details/51331710（方法3）

首先看一个关于质数分布的规律：大于等于5的质数一定和6的倍数相邻。例如5和7，11和13,17和19等等；

证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······

可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里有个题外话，关于孪生素数，有兴趣的道友可以再另行了解一下，由于与我们主题无关，暂且跳过。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。

此时判断质数可以6个为单元快进，即将方法（2）循环中i++步长加大为6，加快判断速度，原因是，假如要判定的数为n，则n必定是6x-1或6x+1的形式，对于循环中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，则n至少得是一个偶数，但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数，故不成立；另外，如果n能被6i+3整除，则n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。综上，循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况，即循环的步长可以定为6，每次判断循环变量k和k+2的情况即可，理论上讲整体速度应该会是方法（2）的3倍。代码如下：

bool isPrime_3( int num )
{
                 //两个较小数另外处理
                 if(num ==2|| num==3 )
                                 return 1 ;
                 //不在6的倍数两侧的一定不是质数
                 if(num %6!= 1&&num %6!= 5)
                                 return 0 ;
                 int tmp =sqrt( num);
                 //在6的倍数两侧的也可能不是质数
                 for(int i= 5;i <=tmp; i+=6 )
                                 if(num %i== 0||num %(i+ 2)==0 )
                                                 return 0 ;
                 //排除所有，剩余的是质数
                 return 1 ;
}

二、米勒拉宾素数测试

米勒拉宾素数测试可以快速测出单个数是否为素数。

步骤：

首先判断这个数n的奇偶性

若为偶数仅有2是质数

奇数则进入测试

测试方法：

首先确定几个基底a,范围在[2,n-1]

因为n是奇数,所以n-1必定为偶数

则n-1可以表示为(2^s)*d

s、d分别求出来

设t为a^d模n的数,有如下几个约定：

1.若t=-1或1时则该数n可能为质数

2.若此时t=n-1,则该数可能为质数

3.d*2>n-1时n必为合数

4.若上述皆不满足则让d*2,返回2

多组测试之后就能判断是否为质数,而且错误率相当低！！

　　还有一篇博客：https://www.cnblogs.com/cons/p/5188910.html，说的很清楚。

#include <cstdio>
int t,n,ans;
long long qpow(int x,int y,int mod)//快速幂
{
    long long ans=1,a=x;
    while(y)
    {
        if(y&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
bool MR_prime(int a,int n)//米勒拉宾
{
    int r=0,d=n-1;
    if(!(n%a)) return false;//倍数必为合数
    while(!(d&1))//找到奇数
    {
        d>>=1;
        r++;
    }
    long long k=qpow(a,d,n);
    if(k==1) return true;//同余1
    for(int i=0;i<r;i++,k=k*k%n) if(k==n-1) return true;//同余-1
    return false;
}
bool check_prime(int n)
{
    if(n==2||n==3||n==7||n==61) return true;
    if(!(n&1)||n%3==0||n==1) return false;//删掉大量已知情况
    if(MR_prime(2,n)&&MR_prime(7,n)&&MR_prime(61,n)) return true;
    return false;
}
int main()
{
    while(scanf("%d",&t)!=EOF)
    {
        ans=0;
        while(t--)
        {
            scanf("%d",&n);
            if(check_prime(n)) ++ans;
        }
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

 三、欧拉筛（朴素筛和埃拉托斯特尼筛的优化）

•从2开始枚举i，若没有被删除，则加入素数表

•枚举素数表的所有素数j，筛去i*j，直到枚举到某个j能整除i

时间复杂度为线性O（n）。

一般用于求一个区间的素数。

代码：

long long pri[maxn];
bool ispri[maxn];
void init(){
	for(int i=2;i<maxn;i++)
		ispri[i]=true;
	for(int i=0;i<maxn;i++)
		pri[i]=0;
}
void findpri()
{	
	init();
	int j=0;
	for(int i=2;i<maxn;i++)
	{
		if(ispri[i])
		{
			pri[j++]=i;	
		}
		for(int k=0;k<j;k++)
		{
			if(i*pri[k]>=maxn)
				break;
			ispri[i*pri[k]]=false;
			if(i%pri[k]==0)
			{
				break;
			}
		}
	}
}

 

 

 

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