计算几何摸黑(3)-圆及有关计算(上)

2024年5月13日 55次阅读

圆的表示方法

​ 和直线一样，圆也可以使用参数式表示。显而易见，一个唯一的圆可以用一个点表示圆心，和一个实数表示半径。所以，我们可以这样定义一个圆。

class circle_base { public: double r; Point c; Circle(Point C = Point(0.0, 0.0), R = 0.0) : c(C), r(R) { } }C;

​ 约定：这里用C.c表示圆C的圆心，C.r表示圆C的半径。

通过圆心角求点的座标

​ 我们作一条过圆心，平行于 x 轴的直线 lx ，再作一条过圆心，平行于 y 轴的直线 ly ，那么这又构成了一个座标系。这样，在圆上且和 lx 正半轴有一个夹角的点唯一。我们把那个角称为圆心角。所以，我们可以用三角函数和圆的成分来实现这个功能。注意：在这里我用到了类继承，也可以直接将Circle类声明中添加point函数。

class Circle : public circle_base
{
public:
    Circle(circle_base &t)
        : circle_base(t) { }
    inline Point point(const double theta)
    {
        return Point(x + std::cos(theta) * r, y + std::sin(theta) * r);
    }
}

直线和圆的交点

​ 我们可以通过解方程法求出直线和圆的交点。 若直线为 AB ，我们可以设交点为 P=A+t(B−A) 。这里要用到高中课本上的圆方程公式：

(x−x0)2+(y−y0)2=r2

​ 由上面的设出的式子，我们可以这样推导：

P=(ax,ay)+t(bx−ax,by−ay)

=(ax−tax+tbx,ay−tay+tby)

∵P∈⊙C

∴(ax−tax+tbx−C.c.x)2+(ay−tay+tby−C.c.y)2=r2

∵bx−ax=AB→.x,by−ay=AB→.y

整理得，(t(AB→.x)+(ax−C.c.x))2+(t(AB→.y)+(ay−C.c.y))2−r2=0

令a=(AB→.x),b=(ax−C.c.x),c=(AB→.y),d=(ay−C.c.y)

∴(at+b)2+(ct+d)2−r2=0

(a2+c2)t2+(ab+cd)t+b2+d2−r2=0

令e=(a2+c2),f=(ab+cd),g=(b2+d2−r2)

∴et2+ft+g=0

令Δ=f2−4eg

​ 易知， 如果 Δ>0 ，那么直线将与圆有两个交点， Δ<0 ，直线将与圆有相离， Δ=0 ，直线将与圆有一个交点。把这个方程的解代入，并用三角函数计算就可以求出角了实现如下。

int getLineCircInter(const Line &L, const Circle &C,
    double &t1, double &t2,
    double &s1, double &s2)
    // 意义: L交C于圆心角为t1和t2的点，分别为s1, s2
{
    double a = L.v.x, b = L.p.x - C.c.x,
           c = L.v.y, d = L.p.y - C.c.y,
           e = a * a + c * c, f = 2 * (a * b + c * d),
           g = (b * b + d * d - C.r * C.r); // 详细推导过程见上文
    double delta = f * f - 4 * a * c; // 判别式
    if (dcmp(delta) < 0)
        return 0;
    if (dcmp(delta) == 0)
    {
        t1 = t2 = -(f / (2 * e));
        s1 = s2 = C.point(t1);
        return 1;
    }
    t1 = (-f + std::sqrt(delta)) / (2 * e);
    t2 = (-f - std::sqrf(delta)) / (2 * e);
    s1 = C.point(t1);
    s2 = C.point(t2);
    return 2;
} // 注意，这里的返回值的含义是交点个数。
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