01揹包 Hdu Bone Collector（2602）d

2024年6月4日 95次阅读

我在学习01揹包的时候也遇到过各种的困难，不能很好地理解01揹包里的数组值得变化。

在这我希望以最简单的方式讲给大家，当然写的也比较囉嗦

 

01揹包是揹包里最简单的，本人刚刚做完揹包的问题，把自己的学习总结讲给大家，这只是本人的理解，希望大牛看出哪里有错误指出。

 

 

01揹包的状态转移方程：f[i, j] = max( f[i-1, j-Wi] + Pi , f[i-1, j] )

这个方程是伪代码写的。i表示有第几件物品，j代表你拥有的费用。max（）是你自己定义的一个比较函数。

i表示物品。

j表示费用。

wi表示第i个的费用。

pi表示第i个的价值。

f[ i , j ]表示的是你在面对第i个的时，你有j的费用。

f[ i -1，j ]表示的是你在上一物品选取的时候，有j费用的最优选择。

f[ i-1 ，j-wi ]表示的是你在上一个物品时，拥有j -wi费用的时候的最优选择。

用代码实现时的代码是

for(i=1;i<=n;i++) //i表示第几个物品
	for(j=0;j<=m;j++)//j表示费用
		if(j>=cost[i])//当费用大于或等于当前的花费是，才可以进行赋值，否则无法放入，也就是数组会越界
			pet[i][j]=Max(pet[i-1][j],pet[i-1][j-cost[i]]+value[i]);//转移方程，用cost[i]表示第i个所要花费的费用，vale[i]表示第i个物品的费用
		else
			pet[i][j]=pet[i-1][j];//不大于的时候跟新数组里的信息
现在大家一定充满疑问就是为什么这样就可以完成，我给大家举一个例子，或许大家就可以理解了。
题目选自杭电的2602题http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602
 Problem Description   Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?     
 Input   The first line contain a integer T , the number of cases.Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.    
 Output   One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 2
 31).    
 Sample Input
 1 5 10 1 2 3 4 5 5 4 3 2 1     
这一题是最基本的01揹包问题。
不明白题意的自行百度翻译
我给大家ac的代码

<pre name="code" class="cpp">#include<stdio.h>
#include<string.h>
int pet[1001][1001];
int value[1001],cost[1001];
int Max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b;
}
int main()
{
    int t,i,j,n,m;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        memset(pet,0,sizeof(pet));
        scanf("%d %d",&n,&m);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&value[i]);
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&cost[i]);
        for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=0;j<=m;j++)
                if(j>=cost[i])
                    pet[i][j]=Max(pet[i-1][j],pet[i-1][j-cost[i]]+value[i]);
                else
                    pet[i][j]=pet[i-1][j];
        printf("%d\n",pet[n][m]);
    }
    return 0;

}
给大家一个数组值的变化表，希望大家可以看清这个表的变化
第一排表示0~10表示揹包的费用
第一个竖排表示0~5表示的是价值，第二个5~1是表示费用
我们要学会的就是如何填这个表
也就是理解算法计算问题的关键点.
         0
       1       
      2       
       3       
       4       
       5       
       6       
       7       
       8       
       9       
       10       
         0（0）     
        0       
       0
       0
       0
       0
       0
       0
       0
       0
       0
       0
       1（5）
       0
       0
       0
       0
       0
       1
       1
       1
       1
       1
       1
       2（4）  
       0 
       0      
       0
       0
       2
       2
       2
       2
       2
       3
       3
       3（3）
       0
       0
       0
       3
       3
       3
       3
       5
       5
       5
       5
       4（2）
       0
      0
       4
       4
       4
       7
       7
       7
       7
       9
       9
       5（1）
       0
      5
       5
       9
       9
       9
       12
       12
       12
       12
       14
 for(i=1;i<=n;i++)
            for(j=0;j<=m;j++)
                if(j>=cost[i])
                    pet[i][j]=Max(pet[i-1][j],pet[i-1][j-cost[i]]+value[i]);
                else
                    pet[i][j]=pet[i-1][j];
 循环i=1开始，第一件物品费用为5，价值1
     第一次进入for循环，j=1，费用为5，进入else  pet[ 1 ][ 1 ]=pet[ 0 ][ 1 ];
     第二次进入 j=2，费用还是为5 ，进入else   petp[1][2]=pet[0][1];
      。。。。。。
     第五次进入 j=5  进入if（j>=cost[i]）   pet[ 1 ][ 5 ]=max(pet[ 0 ][ 5 ],pet[ 0 ][5-cost[i]]+value[i]);可以看出来           cost[i]=5,value[i]=1,    pet[ 0 ][ 5 ]=0,pet[ 0 ][ 5-cost[ i ] ]+value[ i ] = 1。pet[ 1 ][ 5 ]=1。
     第六次进入j=6  进入if（j>=cost[i]）   pet[ 1 ][ 6 ]=max(pet[ 0 ][ 6 ],pet[ 0 ][6-cost[i]]+value[i]);可以看出来cost[i]=5,value[i]=1,    pet[ 0 ][ 6 ]=0,pet[ 0 ][ 6-cost[ i ] ]+value[ i ] = 1。pet[ 1 ][ 6 ]=1。
       。。。。。。
循环i=2，第二件价值为2，费用为4
      第一次进入，j=1，费用为4，不够，进入else  pet[ 2 ][ 1 ]=pet[ 1 ][ 1 ]。
      第二次进入，j=2.。。。。。。。。
      。。。。。。
      第四次进入，j=4，费用为4，进入if（j>=cost[ i ]）pet[ 2 ][ 4 ]=max(pet[ 1 ][ 4 ],pet[ 1 ][4-cost[ i ] ]+value[ i ]),
pet[ 1 ][ 4 ]=0,pet[ 1 ][ 4-cost[ i ] ]+value[ i ]=2;   所以pet[ 2 ][ 4 ]=2;
     第五次进入，j=5,费用为4，进入if( j>=cost[ i ] )  pet[ 2 ][ 5 ]=max( pet[ 1 ][ 5 ] ,pet[ 1 ][ 5-cost[ i ] ]+value[ i ] ).
比较值pet[ 1 ][ 5 ]=1,pet[ 1 ][ 1 ]+value[ i ]=2，所以pet[ 2 ][ 5 ]=2。
     。。。。。。
    每加上一个物品，从0到10容量的揹包根据上一次存的内容（上一次是以前所有物品加上后的最大价值），求出这一次加上该物品最大的价值。
     大家如果还不理解的话多看几遍就可以理解了，试着把表填一填。
如果有错还希望大家指出，谢谢！！
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