Poj 2152 Fire (DP_树形DP)

2024年5月15日 105次阅读

题目链接：http://poj.org/problem?id=2152

题目大意：给定n个节点组成的树，树有边权.现在要在一些点上建立消防站，每个点建站都有个cost[i]，如果不在当前的点上建站，也要依赖其他的消防站，并且距离不超过limit[i]。求符合上述条件的最小费用建站方案。n <= 1000.


解题思路：复杂度为O(n^2)的树形DP.因为要依赖其他站点，所以不仅仅只从子树中获取信息，也可能从父亲结点，兄弟结点获取信息，所以在计算每个点时首先想到要枚举，因为n特别小，允许我们枚举。设dp[i][j]表示i点及其子树都符合情况下i点依赖j点的最小花费，有了这个似乎还不够，再开个一维数组best，best[i]表示以i为根的子树符合题目要求的最小花费。这样状态转移方程就是dp[i][j] = cost[j] + sum(min(dp[k][j]-cost[j],best[k])) (k为i的子节点，j为我们枚举的n个点)，因为i的每个子节点可以和i一样依赖j结点，那么花费是dp[k][j]-cost[j]，或者依赖以k为根的树中的某点，花费是best[k]，最后再加上cost[j]，因为要在j结点建站所以要增加花费。

    你问我怎么想到的，我不会告诉你我看了陈启峯的论文。


测试数据：

5
5
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 5 1

5
1 1 1 1 1
2 1 1 1 2
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 5 1

5
1 1 3 1 1
2 1 1 1 2
1 2 1
2 3 1
3 4 1
4 5 1

4
2 1 1 1
3 4 3 2
1 2 3
1 3 3
1 4 2

4
4 1 1 1
3 4 3 2
1 2 3
1 3 3
1 4 2


代码：

[cpp]
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copy

  1. #include <stdio.h>  
  2. #include <vector>  
  3. #include <string.h>  
  4. using namespace std;  
  5. #define MAX 1100  
  6. #define INF 2147483647  
  7. #define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)  
  8. #define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)  
  9.   
  10.   
  11. struct node {  
  12.   
  13.     int v,len;  
  14. }now;  
  15. vector<node> tree[MAX];  
  16. int n,cur,best[MAX],dp[MAX][MAX];   //best[i]表示以i为根的子树的最小花费，dp[i][j]表示i依赖j的花费  
  17. int dist[MAX][MAX],limit[MAX],cost[MAX];  
  18.   
  19.   
  20. void Initial() {  
  21.     //初始化  
  22.     int i,j;  
  23.     for (i = 0; i <= n; ++i)  
  24.         tree[i].clear(),best[i] = INF;  
  25.     for (i = 1; i <= n; ++i)  
  26.         for (j = 1; j <= n; ++j)  
  27.             dp[i][j] = INF;  
  28. }  
  29. void CountDist(int s,int pa,int dis){  
  30.     //先搜一次记录每个点到其他点的距离  
  31.     dist[cur][s] = dis;  
  32.     for (int i = 0; i < tree[s].size(); ++i) {  
  33.   
  34.         int v = tree[s][i].v;  
  35.         int len = tree[s][i].len;  
  36.         if (v == pa) continue;  
  37.         CountDist(v,s,dis+len);  
  38.     }  
  39. }  
  40. void Tree_DP(int s,int pa) {  
  41.   
  42.     int i,j,k;  
  43.     for (i = 0; i < tree[s].size(); ++i)  
  44.         if (tree[s][i].v != pa)  
  45.             Tree_DP(tree[s][i].v,s);  
  46.   
  47.   
  48.     for (i = 1; i <= n; ++i)                //枚举  
  49.         if (dist[s][i] <= limit[s]) {  
  50.   
  51.             dp[s][i] = cost[i];  
  52.             for (j = 0; j < tree[s].size(); ++j) {  
  53.                 //把子树信息汇总到当前点  
  54.                 int v = tree[s][j].v;  
  55.                 if (v == pa) continue;  
  56.                 dp[s][i] += min(dp[v][i]-cost[i],best[v]);  
  57.             }  
  58.             best[s] = min(best[s],dp[s][i]);//状态转移方程，结果存储在best中  
  59.         }  
  60. }  
  61.   
  62.   
  63. int main()  
  64. {  
  65.     int i,j,k,a,b,c,t;  
  66.   
  67.   
  68.     scanf(“%d”,&t);  
  69.     while (t–) {  
  70.   
  71.         scanf(“%d”,&n);  
  72.         Initial();  
  73.         for (i = 1; i <= n; ++i)  
  74.             scanf(“%d”,&cost[i]);  
  75.         for (i = 1; i <= n; ++i)  
  76.             scanf(“%d”,&limit[i]);  
  77.         for (i = 1; i < n; ++i) {  
  78.   
  79.             scanf(“%d%d%d”,&a,&b,&c);  
  80.             now.v = b,now.len = c;  
  81.             tree[a].push_back(now);  
  82.             now.v = a,now.len = c;  
  83.             tree[b].push_back(now);  
  84.         }  
  85.   
  86.   
  87.         for (i = 1; i <= n; ++i)  
  88.             cur = i,CountDist(i,0,0);  
  89.         Tree_DP(1,0);  
  90.         printf(“%d\n”,best[1]);  
  91.     }  
  92. }  
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