带权中位数问题：
分类： 算法
2008-03-07 17:28
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带权中位数问题：
1.带权中位数
我国蒙古大草原上有N（N是不大于100的自然数）个牧民定居点P1（X1，Y1）、P2（X2，Y2）、 …Pn（Xn，Yn），相应地有关权重为Wi，现在要求你在大草原上找一点P（Xp，Yp），使P点到任 一点Pi的距离Di与Wi之积之和为最小。
即求 D=W1*D1+W2*D2+…+Wi*Di+…+Wn*Dn 有最小值
结论：对x与y两个方向分别求解带权中位数，转化为一维。
设最佳点p为点k，则点k满足：
令W为点k到其余各点的带权距离之和，则
sigema( i=1 to k-1) Wi*Di < = W/2
sigema( i=k+1 to n) Wi*Di < = W/2
同时满足上述两式的点k即为带权中位数。
我们都学过中位数问题，即给定了N个数后，位于第[N/2]的数就是中位数。所谓带权中位数，就是给定的N个数都有一个权值，或者说相当于个数。此时的中位数就不再是第[N/2]个数了，而是第[∑D[I]/2]个数。
而在信息学竞赛中，有这样一类题，给出了若干个排列在一条直线上的点，每个点有一个权值，比如说货物量、人数什么的，然后让我们找出使所有点的货物、人集合到一个点的总代价最小的位置。我们将会发现，这一类问题实际上就是带权中位数问题。
{
一些符号的意思：
D[I]—第I个点的权值
DIST（I，J）—I到J点的距离，即DIST（I，J）=|NUM[I]-NUM[J]|
由定义式易知：DIST（I，J）=DIST（J，I）
}
证明（简）：
若最优点在T
则有：
∑{D[I]*DIST(I，T)}(I<>T)<=∑{D[I]*DIST(I,T+1)}(I<>T+1)
将此式化为：
∑{D[L]}*DIST(L,T)}+∑{D[R]*DIST(R,T)}+D[T+1]*DIST(T+1,T)
<=∑{D[L]}*DIST(L,T+1)}+∑{D[R]*DIST(R,T+1)}+D[T]*DIST(T,T+1) (L<T&R>T+1)
即：
∑{D[L]*DIST(L,T+1)}-∑{D[L]*DIST(L,T)}(L<T)+D[T]*(DIST(T,T+1))
>=∑{D[R]*DIST(R,T)}-∑(D[R]*DIST(R,T+1))(R>T+1)+D[T+1]*(DIST(T,T+1))
进一步化简为：
∑{D[L]*(DIST(L,T)-DIST[L,T+1])}(L<=T)<=∑{D[R]*(DIST(R,T+1)-DIST(R,T))}(R>=T+1)
∵DIST(L,T)-DIST(L,T+1)=DIST(T,T+1)
DIST(R,T+1)-DIST(R,T)=DIST(T+1,T)
OBVIOUSLY : DIST(T,T+1)=DIST(T+1,T)
因此：
∑D[L](L<=T)>=∑(D[R])(R>=T+1)
即：∑D[L](L<T)+D[T]>=∑(D[R])(R>T)
因此我们发现，若T是最优点，则必有其左边的权值和加上D[T]后大于右边的权值和
而类似的，我们可以证明其右边的权值和加上D[T]后大于左边的权值和
因此我们要找的点也就是满足以上条件的点。注意到此时我们的选择已经和具体的位置（座标）没有关系了，而成为主要考虑因素的仅仅是各点上的权值。
因为左边的权值和数+D[T]>=右边的权值和，那么：
LEFTSUM+D[T]>=RIGHTSUM=SUMALL-(LEFTSUM+D[T])
=>2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL
=>2*RIGHTSUM<=SUMALL
同理可得：
RIGHTSUM+D[T]>=LEFTSUM=SUMALL-(RIGHTSUM+D[T])
=>2*(RIGHTSUM+D[T])>=SUMALL
=>2*LEFTSUM<=SUMALL
此时我们发现：
2*LEFTSUM<=SUMALL 而 2*(LEFTSUM+D[T])>=SUMALL
也即是说当前的位置T上的数包含了第[(SUMALL)/2]个数，由开篇的简述可知，这第[(SUMALL)/2]个数，就是这个序列中的带权中位数。所以这一类问题，实质上就是带权中位数问题。
证明的简单说明：
我们可以简单地把上面的证明过程看作是左边的人都集合到了M点，而右边的人都集合到了M+1点。此时形成了两军对垒的形式，如果左边的总人数比右边的多，那么从左边走到右边去就没有从右边走到左边来优，反之亦然。那么既然在当前点我们左边的总人数已经比右边多了，那么再往右边移动，左边的人数会进一步增多，而右边的人会减少，那么只会导致更差的结果，所以此时我们可以判断最优点一定在当前点的左边，或者至少在当前这个点。那么范围就从当前的[L，R]缩小到了[L，M]，通过不断地缩小范围（而每一次缩小我们都砍掉了一半的范围），最后我们得到的将是一个点——那就是我们要求的集合位置。
NOTIFY THAT THE CHOICE OF THE MEETPLACE HAS NOTHING TO DO WITH THE DISTANCES！！
最优位置的选择与距离无关！！
带权中位数问题常见算法：
1：朴素算法：
方法：枚举集合点，进行计算
时间复杂度：O（N^2）
2：递推算法：
1．朴素递推：
方法：分别计算对于一个点从左右过来的总代价，求其最小值
时间复杂度：O（N）
2．递推改进算法
方法：利用前面证明的结论和带权中位数的定义，只需要一次扫描即可
时间复杂度：O（N）
3：分治算法：
1． O（NlogN）的算法
方法：二分集合点，比较集合点为M与M+1时的谁更优，不断缩小范围
2． O（N）的二分改进算法
方法：二分集合点，但利用了已知信息，将时间复杂度降到O（N）
附录：
证明二分优化后的时间复杂度：
由于是二分，所以共执行了logN次
最后一次的次数是1，之后依次递增：
即：2^0+2^1+…..+2^(logN)=2^(logN+1)-1=2*N-1
所以时间复杂度为：O(N)
{更新于2006-10-24晚21：34分
UPDATED AT 21：34 IN OCT 24TH，2006}
优化后的二分实现：采用类似二分查找的迭代法
1． SET L=1；R=N；
2． WHILE (L<=R) DO
3． M=(L+R)/2;
4． IF R=L
5． THEN BREAK
6． ELSE CALC_LEFTSUM&RIGHTSUM
7． COMPARE LEFTSUM&RIGHTSUM
8． IF LEFTSUM >RIGHTSUM
9． THEN SET R=M; SET SUM[R]=SUM[R]+RIGHTSUM
10. ELSE IF LEFTSUM<RIGHTSUM
11. THEN SET L=M+1; SET SUM[L]=SUM[L]+LEFTSUM
12 .ELSE BREAK
13. IF NOT BREAK THEN BACK TO 2
14 SET MEETPLACE=M
15 CALC THE COST TO GET ALL TOGETHER AT MEETPLACE
即：
1． 设置初始的左右边界LR
2． 若左右边界LR未错位
3． 计算二分点M的位置
4． 若左右边界已重合
5． 则此时的二分点M就是最优点
6． 否则计算1~M的和LEFTSUM、M+1~N的和RIGHTSUM
7． 比较LEFTSUM和RIGHTSUM
8． 若LEFTSUM大于RIGHTSUM
9． 则最优点在当前M的左边
10． 置左边界为M+1，把LEFTSUM加到SUM[L]上
11． 若RIGHTSUM大于LEFTSUM
12． 则最优点在当前M的右边（或在M点）
13． 置右边界为M，把RIGHTSUM加到SUM[R]上
14． 否则此时的M就是最优点
15． 若没有找到最优点则继续迭代
16． 置集合位置MEETPLACE为M
17． 计算到MEETPLACE的代价
{更新于2006-10-25 8：19
UPDATED AT 8：19，OCT 25TH，2006}
递推改进算法的实现：
1． CALC THE SUM OF ALL POINTS
2． SET M=1
3． WHILE LEFTSUM+SUM[M]<(SUM-ALL DIV 2) DO
4． SET LEFTSUM=LEFTSUM+SUM[M] SET M=M+1
5．SET MEETPLACE=M
6．CALC THE COST TO GET ALL TOGETHER TO MEETPLACE
即：
1． 计算总的人数和
2． 从1开始计算
3． 若满足左边的总人数+当前点的人数<总人数的一半
4． 则把当前点的人数累加到LEFTSUM中，同时M向后移动一位
5． 满足左边的人数和+当前点的人数和的点就是我们的最优点
6． 计算到MEETPLACE总代价
