题目3 : 活动中心
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描述
A市是一个高度规划的城市,但是科技高端发达的地方,居民们也不能忘记运动和锻炼,因此城市规划局在设计A市的时候也要考虑为居民们建造一个活动中心,方便居住在A市的居民们能随时开展运动,锻炼强健的身心。
城市规划局希望活动中心的位置满足以下条件:
1. 到所有居住地的总距离最小。
2. 为了方便活动中心的资源补给和其他器材的维护,活动中心必须建设在A市的主干道上。
为了简化问题,我们将A市摆在二维平面上,城市的主干道看作直角座标系平的X轴,城市中所有的居住地都可以看成二维平面上的一个点。
现在,A市的城市规划局希望知道活动中心建在哪儿最好。
输入
第一行包括一个数T,表示数据的组数。
接下来包含T组数据,每组数据的第一行包括一个整数N,表示A市共有N处居住地
接下来N行表示每处居住地的座标。
输出
对于每组数据,输出一行“Case X: Y”,其中X表示每组数据的编号(从1开始),Y表示活动中心的最优建造位置。我们建议你的输出保留Y到小数点后6位或以上,任何与标准答案的绝对误差或者相对误差在10-6以内的结果都将被视为正确。
数据范围
小数据:1 ≤ T ≤ 1000, 1 ≤ N ≤ 10
大数据:1 ≤ T ≤ 10, 1 ≤ N ≤ 105
对于所有数据,座标值都是整数且绝对值都不超过106
样例解释
样例1:活动中心的最优建造位置为(1.678787, 0)
样例输入
1 3 1 1 2 2 3 3
样例输出
Case 1: 1.678787
分析:初看此题,感觉不难,目标是在X轴上找一个点,让它距离所有点距离之和最小,但是一动手做才发现不知道从哪里切入,因为如果从最小的X遍历到最大的X的话,无法设置步长(题目精确到了10^-6),所以还得找其他方法。
1、对目标函数求导,目标函数是 y=((x-x1)^2+y1*y1)^1/2+((x-x2)^2+y2*y2)^1/2+…,我们的目标是找到它的最小值,对它求导后,令导数等于0,此时的 x 就是我们要找的目标函数极小值处的 x ;但是导数=0也不好解,继续对导数求导发现其是恒大于0的,也就是说导数是递增的,所以导数的值应该是由负到正变化的,故目标函数应该是先递减后递增,有极小值,我们对导数应用二分法,找到它等于0处的点;关键代码如下:
while(fabs(l-h)>= 0.00000001){
mid= (l+h)/2;
if(calcu(mid)){ //计算导数值是否 >=0,若是,继续往右找
h= mid;
}else{ //否则,往左找
l= mid;
}
}
//calcu函数关键部分,求导数值
for(int i= 0; i< len; ++i){
a= mid-point[i].first;
b= sqrt(a*a+(point[i].second*point[i].second));
sum+=a/b;
}
return sum>=0;
2、看到另一位网友说,可以用三分法(我还是头一次听说这个三分法。。),即找一个全局的中间点mid,再找一个右半部分的mid,比较二者的目标函数值,谁小就往那边移动边界;
double midl,midr,le,re,lme,rme;
while(maxX-minX>eps)
{
midl=(minX+maxX)/2; //全局mid
midr=(midl+maxX)/2; //右半段的mid,故为三分
lme=GetDis(midl); //计算目标函数值,即距离之和
rme=GetDis(midr);
if(lme>rme)
minX=midl;
else maxX=midr;
}
参考链接:
http://blog.csdn.net/kunlong0909/article/details/24120343