滑雪-DP

2024年6月10日 160次阅读

滑雪★★★★

Description
Michael喜欢滑雪但这并不奇怪， 因为滑雪的确很刺激。可是为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。Michael想知道在一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子

   1  2  3  4 5
  16 17 18 19 6
  15 24 25 20 7
  14 23 22 21 8
  13 12 11 10 9

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-…-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。

Input
多组测试数据。输入的第一行表示区域的行数R和列数C(1 <= R,C <= 100)。下面是R行，每行有C个整数，代表高度h，0<=h<=10000。

Output
输出最长区域的长度。

Sample Input

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

Sample Output

25

解题报告：

对于 4*4 矩阵:
a1 a2 a3 a4
b1 b2 b3 b4
c1 c2 c3 c4
d1 d2 d3 d4
假如我们从某个点开始滑，可以向它周围的四个点中的某个高度小于该点的
点滑过去，对于某个点，如果从它周围的四个点开始滑的最优值已经求出，
则该点的最优值就是在四个点中所有高度比它小的点最优值最大的那个加一
我们可以设两个数组，一个用于保存原来的高度，另外一个用于记录从该点
开始滑的最优值
比如，假设高度值矩阵如下：
1  2 5  3
14 2 5  6
14 2 56 3
1  7 8  9
最优值矩阵初始化如下：
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
从第一个点出发，因为他周围的两个点高度都比他大，所以在最优值矩阵更新如下：
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
从第二点出发向四周搜索，我们找到一个高度比该点小且最优值已经求出的点（第一点）
则第二点的最优值为第一点的加一，DP矩阵变为如下
1 2 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
从第三点出发，我们找到两个高度，2 ，3都比它小，而值为 3 的点的最优值没有求出，因此
递归求解从值为3的点出发的最优值，显然 值为3的点的最优值为 1，于是，矩阵更新如下：
1 2 3 1
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
其余点的最优值同理可得，全局最优值即为，DP矩阵中的最大值。

源码如下：

#include <iostream>
using namespace std;
//overall variable
int **height;
int **dp;
int row,column;

int dping(int i,int j)
{
	if(dp[i][j] > 0)
		return dp[i][j];
	int max = 0;
	//Up
	if(i > 0 && height[i][j] > height[i-1][j] && dping(i-1,j) > max)
		max = dping(i-1,j);
	//Down
	if(i < row-1 && height[i][j] > height[i+1][j] && dping(i+1,j) > max)
		max = dping(i+1,j);
	//Left
	if(j > 0 && height[i][j] > height[i][j-1] && dping(i,j-1) > max)
		max = dping(i,j-1);
	//Right
	if(j < column-1 && height[i][j] > height[i][j+1] && dping(i,j+1) > max)
		max = dping(i,j+1);
	
	//Finished
	dp[i][j] = max + 1;
	return dp[i][j];
}

int main()
{
	while(1)
	{
		cin >> row >> column;
		height = new int *[row];
		dp = new int* [row];

		//locate and initialize
		for(int i = 0;i < row;i++)
		{
			height[i] = new int[column];
			dp[i] = new int[column];
			for(int j = 0;j < column;j++)
			{
				cin >> height[i][j];
				dp[i][j] = 0;
			}
		}
		//dp
		int length = 0;
		for(int i = 0;i < row;i++)
		{
			for(int j = 0;j < column;j++)
			{
				int tmp = dping(i,j);
				if(tmp > length)
					length = tmp;
			}
		}
		cout << "The max length is " << length << endl;
		//free memory
		for(int i = 0;i < row;i++)
		{
			delete [] height[i];
			delete [] dp[i];
		}
		delete [] height;
		delete [] dp;
	}

	return 0;
	
}

 

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