在优化问题中，有两个关键点
- 代价函数：确定问题的形式和规模之后，根据不同的问题，选择要优化的目标。如本文涉及的两个问题中，一个优化目标是使得航班选择最优，共计12个航班，要使得总的票价最少且每个人的等待时间之和最小。第二个问题是学生选择宿舍的问题，每个学生可以实现填报志愿，如果安排的宿舍与志愿完全一致，则代价为0，与第二志愿一致，代价为1，如果没有和志愿一致，代价为3。 故，抽象问题的能力很重要，如何将自己要优化的目标量化的表达出来，是解决优化函数的关键。如在普通的数值优化问题中，可选择当前值与目标值距离的绝对之差，或者使用平方损失函数，均可。
值域：值域是确定搜索的范围。一个可行解的范围是多少，比如学生选宿舍的问题，一共学校有100间宿舍，编号为1-100，那么这个数值优化问题的每个可行解的范围均在100之内。不同的问题对应不同的可行解，也要具体问题具体分析。
- 随机搜索算法
随机搜索算法是最简单的优化搜索算法，它只适用于代价函数在值域范围内没有任何变化规律的情况。即找不到任何使得代价下降的梯度和极小值点。我们只需要在值域范围内生成足够多的可行解，然后分别计算每个可行解的代价，根据代价选择一个最小的可行解作为随机搜索的最优解即可。
- 随机搜索算法
# 搜索方法1: 随机搜索算法
# 函数会作1000次随机猜测，记录总代价最低的方法. domain为航班号的范围（0-9），共有5个人，因此共有10项
def randomoptimize(self, domain):
best_sol = []
bestcost = 99999
for i in range(1000):
sol = [0] * len(domain)
for j in range(len(domain) / 2): # 人数
sol[2 * j] = random.randint(domain[2 * j][0], domain[2 * j][1])
sol[2 * j + 1] = random.randint(domain[2 * j + 1][0], domain[2 * j + 1][1])
print sol[:]
newcost = self.schedulecost(sol)
if newcost < bestcost:
bestcost = newcost
best_sol = sol
else:
continue
self.printschedule(best_sol)
print "随机搜索算法的结果的最小代价是：", bestcost
return best_sol- 爬山法
爬山法假设当前解和周围的解是有变化规律的，如，当前解得下方有一个代价较小的解，则我们就认为，沿着这个方向走，解会越来越小。步骤为：首先选择一个解作为种子解，每次寻找与这个解相近的解，如果相近的解中有代价更小的解，则把这个解作为种子解。而如果周围的解都比该解的代价大，则表示已经到达了局部极小值点，搜索停止。
# 搜索算法2：爬山法
# 首先随机选择一个解作为种子解，每次寻找这个种子相近的解，如果相近的解有代价更小的解，则把这个新的解作为种子
# 依次循环进行，当循环到某种子附近的解都比该种子的代价大时，说明到达了局部极小值点，搜索结束
def hillclimb(self, domain):
# 随机产生一个航班序列作为初始种子
seed = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]
while 1:
neighbor = []
# 循环改变解的每一个值产生一个临近解的列表
for i in range(len(domain)):
# 下列判断是为了将某一位加减1后不超出domain的范围
# print seed
if seed[i] > domain[i][0]:
newneighbor = seed[0:i] + [seed[i] - 1] + seed[i + 1:]
# print newneighbor[:]
neighbor.append(newneighbor)
if seed[i] < domain[i][1]:
newneighbor = seed[0:i] + [seed[i] + 1] + seed[i + 1:]
# print newneighbor[:]
neighbor.append(newneighbor)
# 对所有的临近解计算代价，排序，得到代价最小的解
neighbor_cost = sorted(
[(s, self.schedulecost(s)) for s in neighbor], key=lambda x: x[1])
# 如果新的最小代价 > 原种子代价，则跳出循环
if neighbor_cost[0][1] > self.schedulecost(seed):
break
# 新的代价更小的临近解作为新的种子
seed = neighbor_cost[0][0]
print "newseed = ", seed[:], " 代价：", self.schedulecost(seed)
# 输出
self.printschedule(seed)
print "爬山法得到的解的最小代价是", self.schedulecost(seed)
return seed- 模拟退火算法
从一个问题的原始解开始，用一个变量代表温度，这一温度开始时非常高，而后逐步减低。在每一次迭代期间，算法会随机选中题解中的某个数字，使其发生细微变化，而后计算该解的代价。关键的地方在于计算出该解的代价后，如果决定是否接受该解。
如果新的成本更低，则新的题解就会变成当前题解，这与爬山法类似；如果新的成本更高，则新的题解与概率 P 被接受。这一概率会随着温度T的降低而降低。即算法开始时，可以接受表现较差的解，随着退火过程中温度的不断下降，算法越来越不可以接受较差的解，知道最后，它只会接受更优的解。
其中P = exp[-（newcost – oldcost）/ T ]
其中newcost是新解的成本，oldcost是当前成本，T为当前温度。算法以概率P接受新的解。
# 搜索算法4：模拟退火算法
# 参数：T代表原始温度，cool代表冷却率，step代表每次选择临近解的变化范围
# 原理：退火算法以一个问题的随机解开始，用一个变量表示温度，这一温度开始时非常高，而后逐步降低
# 在每一次迭代期间，算啊会随机选中题解中的某个数字，然后朝某个方向变化。如果新的成本值更
# 低，则新的题解将会变成当前题解，这与爬山法类似。不过，如果成本值更高的话，则新的题解仍
# 有可能成为当前题解，这是避免局部极小值问题的一种尝试。
# 注意：算法总会接受一个更优的解，而且在退火的开始阶段会接受较差的解，随着退火的不断进行，算法
# 原来越不能接受较差的解，直到最后，它只能接受更优的解。
# 算法接受较差解的概率 P = exp[-(highcost-lowcost)/temperature]
def annealingoptimize(self, domain, T=10000.0, cool=0.98, step=1):
# 随机初始化值
vec = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]
# 循环
while T > 0.1:
# 选择一个索引值
i = random.randint(0, len(domain) - 1)
# 选择一个改变索引值的方向
c = random.randint(-step, step) # -1 or 0 or 1
# 构造新的解
vecb = vec[:]
vecb[i] += c
if vecb[i] < domain[i][0]: # 判断越界情况
vecb[i] = domain[i][0]
if vecb[i] > domain[i][1]:
vecb[i] = domain[i][1]
# 计算当前成本和新的成本
cost1 = self.schedulecost(vec)
cost2 = self.schedulecost(vecb)
# 判断新的解是否优于原始解 或者 算法将以一定概率接受较差的解
if cost2 < cost1 or random.random() < math.exp(-(cost2 - cost1) / T):
vec = vecb
T = T * cool # 温度冷却
print vecb[:], "代价:", self.schedulecost(vecb)
self.printschedule(vec)
print "模拟退火算法得到的最小代价是：", self.schedulecost(vec)
return vec
- 遗传算法
随机生成一组解，成为一个种群
（1）直接遗传
将当前种群中代价最小的一部分解，如 40% 进行直接遗传，传入下一代种群。
（2）变异
从题解中随机选取一个数字，对其进行微小的，简单的改变。
（3）交叉
选取最优解中的两个解，将他们按照某种方式进行结合
通过上述三种方法，从上一代种群中构建出了下一代种群。而后，这一过程重复进行，知道达到了指定的迭代次数，或者连续数代都没有改善种群，则整个过程就结束了。
# 搜索算法5： 遗传算法
# 原理： 首先随机生成一组解，我们称之为种群，在优化过程的每一步，算法会计算整个种群的成本函数，
# 从而得到一个有关题解的有序列表。随后根据种群构造进化的下一代种群，方法如下：
# 遗传：从当前种群中选出代价最优的一部分加入下一代种群，称为“精英选拔”
# 变异：对一个既有解进行微小的、简单的、随机的修改
# 交叉：选取最优解中的两个解，按照某种方式进行交叉。方法有单点交叉，多点交叉和均匀交叉
# 一个种群是通过对最优解进行随机的变异和配对处理构造出来的，它的大小通常与旧的种群相同，尔后，这一过程会
# 一直重复进行————新的种群经过排序，又一个种群被构造出来，如果达到指定的迭代次数之后题解都没有得
# 改善，整个过程就结束了
# 参数：
# popsize-种群数量 step-变异改变的大小 mutprob-交叉和变异的比例 elite-直接遗传的比例 maxiter-最大迭代次数
def geneticoptimize(self, domain, popsize=50, step=1, mutprob=0.2, elite=0.2, maxiter=100):
# 变异操作的函数
def mutate(vec):
i = random.randint(0, len(domain) - 1)
if random.random() < 0.5 and vec[i] > domain[i][0]:
return vec[0:i] + [vec[i] - step] + vec[i + 1:]
elif vec[i] < domain[i][1]:
return vec[0:i] + [vec[i] + step] + vec[i + 1:]
# 交叉操作的函数（单点交叉）
def crossover(r1, r2):
i = random.randint(0, len(domain) - 1)
return r1[0:i] + r2[i:]
# 构造初始种群
pop = []
for i in range(popsize):
vec = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]
pop.append(vec)
# 每一代中有多少胜出者
topelite = int(elite * popsize)
# 主循环
for i in range(maxiter):
scores = [(self.schedulecost(v), v) for v in pop]
scores.sort()
ranked = [v for (s, v) in scores] # 解按照代价由小到大的排序
# 优质解遗传到下一代
pop = ranked[0: topelite]
# 如果当前种群数量小于既定数量，则添加变异和交叉遗传
while len(pop) < popsize:
# 随机数小于 mutprob 则变异，否则交叉
if random.random() < mutprob: # mutprob控制交叉和变异的比例
# 选择一个个体
c = random.randint(0, topelite)
# 变异
pop.append(mutate(ranked[c]))
else:
# 随机选择两个个体进行交叉
c1 = random.randint(0, topelite)
c2 = random.randint(0, topelite)
pop.append(crossover(ranked[c1], ranked[c2]))
# 输出当前种群中代价最小的解
print scores[0][1], "代价：", scores[0][0]
self.printschedule(scores[0][1])
print "遗传算法求得的最小代价：", scores[0][0]
return scores[0][1]
书中给出了关于学生宿舍选择的一个具体例子，以下是代码：
# -*- coding: utf-8 -*-
__author__ = 'Bai Chenjia'
import random
import math
""" 宿舍分配问题，属于搜索优化问题。优化方法使用optimization.py中使用的 随机搜索、爬山法、模拟退火法、遗传算法等. 但题解的描述比之前的问题复杂 """
class dorm:
def __init__(self):
# 代表宿舍，每个宿舍有两个隔间可用
self.dorms = ['Zeus', 'Athena', 'Hercules', 'Bacchus', 'Pluto']
# 代表选择，第一列代表人名，第二列和第三列代表该学生的首选和次选
self.prefs = [('Toby', ('Bacchus', 'Hercules')),
('Steve', ('Zeus', 'Pluto')),
('Karen', ('Athena', 'Zeus')),
('Sarah', ('Zeus', 'Pluto')),
('Dave', ('Athena', 'Bacchus')),
('Jeff', ('Hercules', 'Pluto')),
('Fred', ('Pluto', 'Athena')),
('Suzie', ('Bacchus', 'Hercules')),
('Laura', ('Bacchus', 'Hercules')),
('James', ('Hercules', 'Athena'))]
# 题解的表示法：
# 设想每个宿舍有两个槽，本例中共有5个宿舍，则共有10个槽，我们将每名学生依序安置于各空槽
# 内————则第一名学生有10种选择，解的取值范围为0-9；第二名学生有9种选择，解的取值范围为
# 0-8，第三名学生解的取值范围是0-7，以此类推，最后一名学生只有一个可选。
# 按照上述题解的表示法初始化题解范围：
self.domain = [(0, 2*len(self.dorms)-1-i) for i in range(len(self.prefs))]
# 根据题解序列vec打印出最终宿舍分配方案
# 注意，输出一个槽后表明该槽已经用过，需将该槽删除
def printsolution(self, vec):
slots = []
# slots = [0,0,1,1,2,2,3,3,4,4]
for i in range(len(self.dorms)):
slots.append(i)
slots.append(i)
# 循环题解
print "选择方案是："
for i in range(len(vec)):
index = slots[vec[i]]
print self.prefs[i][0], self.dorms[index]
del slots[vec[i]]
# 代价函数: 如果学生当前安置的宿舍使其首选则代价为0，是其次选则代价为1，否则代价为3
# 注意，输出一个槽后表明该槽已经用过，需将该槽删除
def dormcost(self, vec):
cost = 0
# 建立槽
slots = []
for i in range(len(self.dorms)):
slots.append(i)
slots.append(i)
# 循环题解
for i in range(len(vec)):
index = slots[vec[i]]
if self.dorms[index] == self.prefs[i][1][0]:
cost += 0
elif self.dorms[index] == self.prefs[i][1][1]:
cost += 1
else:
cost += 3
del slots[vec[i]]
return cost
""" 下列函数与 optimization 中函数相同，只不过代价函数和输出函数用本问题的输出函数 """
# 搜索方法1: 随机搜索算法
# 函数会作1000次随机猜测，记录总代价最低的方法. domain为航班号的范围（0-9），共有5个人，因此共有10项
def randomoptimize(self, domain):
best_sol = []
bestcost = 99999
for i in range(1000):
sol = [0] * len(domain)
for j in range(len(domain) / 2): # 人数
sol[2 * j] = random.randint(domain[2 * j][0], domain[2 * j][1])
sol[2 * j + 1] = random.randint(domain[2 * j + 1][0], domain[2 * j + 1][1])
print sol[:]
newcost = self.dormcost(sol)
if newcost < bestcost:
bestcost = newcost
best_sol = sol
else:
continue
self.printsolution(best_sol)
print "随机搜索算法的结果的最小代价是：", bestcost
return best_sol
# 搜索算法2：爬山法
# 首先随机选择一个解作为种子解，每次寻找这个种子相近的解，如果相近的解有代价更小的解，则把这个新的解作为种子
# 依次循环进行，当循环到某种子附近的解都比该种子的代价大时，说明到达了局部极小值点，搜索结束
def hillclimb(self, domain):
# 随机产生一个航班序列作为初始种子
seed = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]
while 1:
neighbor = []
# 循环改变解的每一个值产生一个临近解的列表
for i in range(len(domain)):
# 下列判断是为了将某一位加减1后不超出domain的范围
# print seed
if seed[i] > domain[i][0]:
newneighbor = seed[0:i] + [seed[i] - 1] + seed[i + 1:]
# print newneighbor[:]
neighbor.append(newneighbor)
if seed[i] < domain[i][1]:
newneighbor = seed[0:i] + [seed[i] + 1] + seed[i + 1:]
# print newneighbor[:]
neighbor.append(newneighbor)
# 对所有的临近解计算代价，排序，得到代价最小的解
neighbor_cost = sorted(
[(s, self.dormcost(s)) for s in neighbor], key=lambda x: x[1])
# 如果新的最小代价 > 原种子代价，则跳出循环
if neighbor_cost[0][1] > self.dormcost(seed):
break
# 新的代价更小的临近解作为新的种子
seed = neighbor_cost[0][0]
print "newseed = ", seed[:], " 代价：", self.dormcost(seed)
# 输出
self.printsolution(seed)
print "爬山法得到的解的最小代价是", self.dormcost(seed)
return seed
# 搜索算法4：模拟退火算法
# 参数：T代表原始温度，cool代表冷却率，step代表每次选择临近解的变化范围
# 原理：退火算法以一个问题的随机解开始，用一个变量表示温度，这一温度开始时非常高，而后逐步降低
# 在每一次迭代期间，算啊会随机选中题解中的某个数字，然后朝某个方向变化。如果新的成本值更
# 低，则新的题解将会变成当前题解，这与爬山法类似。不过，如果成本值更高的话，则新的题解仍
# 有可能成为当前题解，这是避免局部极小值问题的一种尝试。
# 注意：算法总会接受一个更优的解，而且在退火的开始阶段会接受较差的解，随着退火的不断进行，算法
# 原来越不能接受较差的解，直到最后，它只能接受更优的解。
# 算法接受较差解的概率 P = exp[-(highcost-lowcost)/temperature]
def annealingoptimize(self, domain, T=10000.0, cool=0.98, step=1):
# 随机初始化值
vec = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]
# 循环
while T > 0.1:
# 选择一个索引值
i = random.randint(0, len(domain) - 1)
# 选择一个改变索引值的方向
c = random.randint(-step, step) # -1 or 0 or 1
# 构造新的解
vecb = vec[:]
vecb[i] += c
if vecb[i] < domain[i][0]: # 判断越界情况
vecb[i] = domain[i][0]
if vecb[i] > domain[i][1]:
vecb[i] = domain[i][1]
# 计算当前成本和新的成本
cost1 = self.dormcost(vec)
cost2 = self.dormcost(vecb)
# 判断新的解是否优于原始解 或者 算法将以一定概率接受较差的解
if cost2 < cost1 or random.random() < math.exp(-(cost2 - cost1) / T):
vec = vecb
T = T * cool # 温度冷却
print vecb[:], "代价:", self.dormcost(vecb)
self.printsolution(vec)
print "模拟退火算法得到的最小代价是：", self.dormcost(vec)
return vec
# 搜索算法5： 遗传算法
# 原理： 首先随机生成一组解，我们称之为种群，在优化过程的每一步，算法会计算整个种群的成本函数，
# 从而得到一个有关题解的有序列表。随后根据种群构造进化的下一代种群，方法如下：
# 遗传：从当前种群中选出代价最优的一部分加入下一代种群，称为“精英选拔”
# 变异：对一个既有解进行微小的、简单的、随机的修改
# 交叉：选取最优解中的两个解，按照某种方式进行交叉。方法有单点交叉，多点交叉和均匀交叉
# 一个种群是通过对最优解进行随机的变异和配对处理构造出来的，它的大小通常与旧的种群相同，尔后，这一过程会
# 一直重复进行————新的种群经过排序，又一个种群被构造出来，如果达到指定的迭代次数之后题解都没有得
# 改善，整个过程就结束了
# 参数：
# popsize-种群数量 step-变异改变的大小 mutprob-交叉和变异的比例 elite-直接遗传的比例 maxiter-最大迭代次数
def geneticoptimize(self, domain, popsize=50, step=1, mutprob=0.2, elite=0.2, maxiter=100):
# 变异操作的函数
def mutate(vec):
i = random.randint(0, len(domain) - 1)
res = []
if random.random() < 0.5 and vec[i] > domain[i][0]:
res = vec[0:i] + [vec[i] - step] + vec[i + 1:]
elif vec[i] < domain[i][1]:
res = vec[0:i] + [vec[i] + step] + vec[i + 1:]
else:
res = vec
return res
# 交叉操作的函数（单点交叉）
def crossover(r1, r2):
i = random.randint(0, len(domain) - 1)
return r1[0:i] + r2[i:]
# 构造初始种群
pop = []
for i in range(popsize):
vec = [random.randint(domain[i][0], domain[i][1]) for i in range(len(domain))]
pop.append(vec)
# 每一代中有多少胜出者
topelite = int(elite * popsize)
# 主循环
for i in range(maxiter):
if [] in pop:
print "***"
try:
scores = [(self.dormcost(v), v) for v in pop]
except:
print "pop!!", pop[:]
scores.sort()
ranked = [v for (s, v) in scores] # 解按照代价由小到大的排序
# 优质解遗传到下一代
pop = ranked[0: topelite]
# 如果当前种群数量小于既定数量，则添加变异和交叉遗传
while len(pop) < popsize:
# 随机数小于 mutprob 则变异，否则交叉
if random.random() < mutprob: # mutprob控制交叉和变异的比例
# 选择一个个体
c = random.randint(0, topelite)
# 变异
if len(ranked[c]) == len(self.prefs):
temp = mutate(ranked[c])
if temp == []:
print "******", ranked[c]
else:
pop.append(temp)
else:
# 随机选择两个个体进行交叉
c1 = random.randint(0, topelite)
c2 = random.randint(0, topelite)
pop.append(crossover(ranked[c1], ranked[c2]))
# 输出当前种群中代价最小的解
print scores[0][1], "代价：", scores[0][0]
self.printsolution(scores[0][1])
print "遗传算法求得的最小代价：", scores[0][0]
return scores[0][1]
if __name__ == '__main__':
dormsol = dorm()
#sol = [0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
#dormsol.printsolution(sol)
#dormsol.dormcost(sol)
domain = dormsol.domain
# 方法1：随机猜测
#dormsol.randomoptimize(domain)
# 方法2：爬山法
#dormsol.hillclimb(domain)
# 方法3：模拟退火法
#dormsol.annealingoptimize(domain)
# 方法4：遗传算法
dormsol.geneticoptimize(domain)
