8.3
STINGY SAT is the following problem: given a set of clauses (each a disjunction of literals) and an integer k, find a satisfying assignment in which at most k variables are true, if such an assignment exists. Prove that STINGY SAT is NP-complete.

在进行证明之前首先给出几个相关定义：

P类问题：在一个由问题构成的集合中，如果每个问题都存在多项式级复杂度的算法，这个集合就是 P 类问题

NP 类问题：能在多项式时间内检验一个解是否正确的问题。NP
类问题也等价为能在多项式时间内猜出一个解的问题。这里的“猜”指的是如果有解，那每次都能在很多种可能的选择中运气极佳地选择正确的一步。

NPC问题：不同的 NP 问题之间也会出现可归约的关系，甚至存在这么一类（不只是一个）问题，使得任何其它的 NP
问题都能归约到它们上。也就是说，能够解决它们的算法就能够解决所有其它的 NP 问题。这一类问题就是 NPC 问题。

我们已知SAT问题是NPC问题，那么要证明Stingy SAT是NPC问题，只需要将SAT问题归约到Stingy SAT问题，也就是说，证明解决了Stingy SAT问题就可以解决SAT问题，证明如下：

给定一个SAT的问题实例I，令(I, k)为有k个变量的STINGY SAT问题实例。我们可以证明，一组赋值S是I的解当且仅当S也是(I, k)的解。

必要性：假设S为I的解，那么因为一共只有k个变量，所以S中也有不超过k个变量可为真。所以S也是(I, k)的解。
充分性：假设S是(I, k)的解，那么显然它也是对应I的解。