辗转相除法的证明

2024年6月9日 86次阅读

辗转相除法的证明：
辗转相除法又叫做「欧几里得算法」,是公元前 300 年左右的希腊数学家欧几里得在他的著作《几何原本》提出的.利用这个方法,可以较快地求出两个自然数的最大公因数,即 HCF 或叫做 gcd.所谓最大公因数,是指几个数的共有的因数之中最大的一个,例如 8 和 12 的最大公因数是 4,记作 gcd(8,12)=4.
在介绍这个方法之前,先说明整除性的一些特点,注以下文的所有数都是正整数
我们可以这样给出整除以的定义:

对于两个自然数 a 和 b,若存在正整数 q,使得 a=bq,则 b 能整除 a,记作 b | a,我们叫 b 是 a 的因数,而 a 是 b 的倍数.
那么如果 c | a,而且 c | b,则 c 是 a 和 b 的公因数.

由此,我们可以得出以下一些推论:

推论一:如果 a | b,若 k 是整数,则 a | kb.因为由 a | b 可知 ha=b,所以 (hk)a=kb,即 a | kb.

推论三:如果 a | b 以及 b | a,则 a=b.因为由 a | b 以及 b | a,可知 ha=b,a=kb,因此 a=k(ha),hk=1,由于 h 和 k 都是正整数,故 h=k=1,因此 a=b.

辗转相除法是用来计算两个数的最大公因数,在数值很大时尤其有用而且应用在电脑程式上也十分简单.其理论如下:

如果 q 和 r 是 m 除以 n 的商及余数,即 m=nq+r,则 gcd(m,n)=gcd(n,r).

证明是这样的:

设 a=gcd(m,n),b=gcd(n,r)

则有 a | m 及 a | n,因此 a | (m-nq)(这是由推论一及推论二得出的),即 a | r 及 a | n,所以 a | b (其中a和b都是最大公约数（为所有不同公约数的乘积），故若a是n和r的公约数，那么a必然能整除n和r的最大公约数b，即a | b)