自适应辛普森公式
辛普森公式是数值方法中常用的计算函数定积分的近似方法。
- 计算定积分的方法
- 辛普森公式的推导
- 其他N-C公式
- 自适应方法
计算定积分的方法
- 求原函数
- 直接查表
- 这个求不出来怎么办 ∫x0t3et−1dt ∫ 0 x t 3 e t − 1 d t
- 那就不求原函数
- 数值积分
辛普森公式的推导
辛普森（Simpson）公式是牛顿-科特斯公式当n=2时的情形，也称为三点公式。利用区间二等分的三个点来进行积分插值。其科特斯系数分别为1/6，4/6，1/6。 —— [ 百度百科 ]
于是我们引入了辛普森公式
∀f(x)=a1x3+a2x2+a3x+a4 ∀ f ( x ) = a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4
∫baf(x)dx=Δx[(f(a)+4f(a+b2)+f(b)]3 ∫ a b f ( x ) d x = Δ x [ ( f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] 3
Δx=a+b2 Δ x = a + b 2
怎么推导呢？
配方法！！
∫baf(x)dx=Δx[(f(a)+4f(a+b2)+f(b)]3 ∫ a b f ( x ) d x = Δ x [ ( f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) ] 3
=14a1(a4−b4)+13a2(a3−b3)+12a2(a2−b2)+a3(a−b) = 1 4 a 1 ( a 4 − b 4 ) + 1 3 a 2 ( a 3 − b 3 ) + 1 2 a 2 ( a 2 − b 2 ) + a 3 ( a − b )
=b−a2{13(a1a3+a2a2+a3a+a4)+43[a1(a+b2)3+a2(a+b2)2+a3a+b2+a4]+13(a1b3+a2b2+a3b+a4)} = b − a 2 { 1 3 ( a 1 a 3 + a 2 a 2 + a 3 a + a 4 ) + 4 3 [ a 1 ( a + b 2 ) 3 + a 2 ( a + b 2 ) 2 + a 3 a + b 2 + a 4 ] + 1 3 ( a 1 b 3 + a 2 b 2 + a 3 b + a 4 ) }
=a+b2(f(a)+4f(a+b2)+f(b)3 = a + b 2 ( f ( a ) + 4 f ( a + b 2 ) + f ( b ) 3
这就说明了：
任何一个不大于三次的函数的定积分都可以写成这样的辛普森公式！
有什么用呢？
用来近似！
假装其他函数的某一部分是一个不大于三次的函数
那么它的定积分也就好求了
用辛普森公式就行了
先用Simpson公式近似，万一近似导致误差太大，那么就二分，分成两段区间分别近似。
怎么近似呢？
直接带公式啊
什么叫误差太大呢？
先算区间 A=Simpson(a,b) A = S i m p s o n ( a , b ) 的近似值，然后分别算一下 L=Simpson(a,a+b2) L = S i m p s o n ( a , a + b 2 ) 和 R=Simpson(a+b2,b) R = S i m p s o n ( a + b 2 , b ) 的近似值
假如 L+R−A≤15∗σ(σ是预设的精度) L + R − A ≤ 15 ∗ σ ( σ 是 预 设 的 精 度 )
那么我们就需要分别重新计算 (a,a+b2)(a+b2,b) ( a , a + b 2 ) ( a + b 2 , b ) 的积分值
此时精度的限制要缩小一半
然后我用Java实现了一下
发现貌似记得太清楚了
跟lrj老师写的一模一样
class Simpson {
// 三点simpson法
public double simpson(double a, double b) {
double c = a + (b-a)/2;
return (F(a)+4*F(c)+F(b))*(b-a)/6;
}
// 自适应Simpson公式（递归过程）。已知整个区间[a,b]上的三点simpson值A
public double asr(double a, double b, double eps, double A) {
double c = a + (b-a)/2;
double L = simpson(a, c), R = simpson(c, b);
if(Math.abs(L+R-A) <= 15*eps) return L+R+(L+R-A)/15.0;
return asr(a, c, eps/2, L) + asr(c, b, eps/2, R);
}
// 自适应Simpson公式（主过程）
public double asr(double a, double b, double eps) {
return asr(a, b, eps, simpson(a, b));
}
}