最大公共子序列求和问题（MCSS）

2024年6月3日 121次阅读

最近开始复习数据结构，准备把《数据结构与算法分析：C语言描述》这本书重刷一遍，顺便做点笔记。

GitHub地址：https://github.com/Chaomin702/Algorithm.git

问题描述

最大公共子序列求和(Maximum Contiguous Subsequence Sum)：
给定整数 A1,A2,...,AN （可能有负数），求 ∑jk=iAk 的最大值（为方便起见，如果所有整数均为负数，则最大子序列和为0）。
比如样例集合为 {−2,11,−4,13,−5,−2} ，最长子序列和应为20。

暴力求解

最直接可以想到的一种解法就是：枚举所有的公共序列，计算最大和即可。即：

maxsj,k=∑i=jkai(0⩽j,k<N)

思路很简单，直接给出代码。

int MaxSubsequenceSumForce(const int A[], int N){
    int maxSum = 0, thisSum = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++){
        thisSum = 0;
        for (int j = i; j < N; j++){
            thisSum += A[j];
            if (thisSum >maxSum)
                maxSum = thisSum;
        }
    }
    return maxSum;
}

动态规划

设 Fi 为以元素 i 结尾的连续最大子序列的和。
那么对于第 i 个元素来说，要形成连续的最大子序列和，只和相邻的前一个元素有关。如果 Ai 加上以 Ai−1 结尾的最大连续子序列和 Fi−1 后为负数，那么 Fi=0 ，否则 Fi=Fi−1+Ai 。
也就是：

Fi=max(0,Fi−1+Ai)

其中

F0=0 。

下面给个求解过程来感受一下。

i123456
Ai -211-413-5-2
Fi 0117201513

上述解法的正确性很容易用数学归纳法证明，在此略过。下面附上代码：

int MaxSubsequenceSumDP1(const int A[], int N){
    int f = 0, maxSum = 0;
    for (int i = 0; i < N; i++){
        f += A[i];
        if (f < 0)
            f = 0;
        if (maxSum < f)
            maxSum = f;
    }
    return maxSum;
}

分而治之

轮到Divide and Conquer这个强大的工具出场了。

其实，最大连续序列和可能会在三处出现：

  1. 输入数据的前半部分
  2. 输入数据的后半部分
  3. 跨越输入数据的中部而占据左右各半部分。

其中前两种情况可以递归求解，第3种情况可以通过求出前半部分的最大和（包含前半部分的最后一个元素）和后半部分的最大和（包含后半部分的第一个元素）而得到，然后将这两个和加在一起。
最后，选出这三个最大和的最大者即可。
好，下面附上代码。

int MaxSubSumDC(const int A[], int l, int h){
    if (h - l < 1){
        if (A[l]< 0)
            return 0;
        else
            return A[l];
    }
    int centre = (l + h) / 2;
    int leftMax = MaxSubSumDC(A, l, centre);
    int rightMax = MaxSubSumDC(A, centre + 1, h);
    int centreLeftMax = 0, centreLeftSum = 0;
    for (int i = centre; i>=l; i--){
        centreLeftSum += A[i];
        if (centreLeftSum > centreLeftMax){
            centreLeftMax = centreLeftSum;
        }
    }
    int centreRightMax = 0, centreRightSum = 0;
    for (int i = centre + 1; i <= h; i++){
        centreRightSum += A[i];
        if (centreRightSum > centreRightMax)
            centreRightMax = centreRightSum;
    }
    int centreMax = centreLeftMax + centreRightMax;
    return max(max(leftMax, rightMax), centreMax);
}

时间复杂度分析

暴力法和动态规划的时间复杂付毋庸置疑，分别是 O(n2)，O(n) 。
分治法略微有些复杂：

{T(1)=1T(n)=T(n/2)+n

也就是

O(nlogn)

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