BNU 34985 Elegant String

2024年1月11日 25次阅读

一個字符串(僅包含0-k)的任何子串都不是 0-k 的某個全排列，求長度爲n的該字符串的數量。

對於n很大的情況，一般是矩陣快速冪。矩陣快速冪的第一步就是找出遞推公式。

設dp[i][j]表示長度爲n的字符串，串末尾有j個數是不同的（j=k+1時不合法）。

當末尾爲j-1個不同時，可以選擇(k+1)-(j-1)種方案使得末尾有j個不同；

當末尾爲j個不同時(2,1,2,…,j)，可以選擇1作爲新末尾(2,1,2,…,j,1)使得末尾依然有j個不同；

當末尾有j+1個不同時(2,1,2,…,j+1)，可以選擇2作爲新末尾(2,1,2,…,j+1,2)使得末尾變成j個不同；

…依次類推，有公式：

dp[i][j]=(k+2-j)*dp[i-1][j-1]+dp[i-1][j]+…dp[i-1][k];（j=k+1時不合法）

根據遞推公式有矩陣轉移方程：

dp=|1 1 1 … 1 1| * dp

      |k 1 1 … 1 1|

      |0 k 1 … 1 1|

      |…          1 1|

      |0 0 0 … k 1| 

長度爲1時，dp[1]=k+1種，其他爲0,；最後答案是sum(dp[i]) i=1 to n

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int MOD=20140518,N=10;
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof a);
LL n;
int k;
struct Mat{
    LL a[N][N];
    Mat(){
        mem(a,0);
    }
    void Unit(){
        for(int i=0;i<N;i++) a[i][i]=1;
    }
    void Init(int k){
        for(int i=0;i<k;i++)
            for(int j=i;j<k;j++) a[i][j]=1;
        for(int i=1;i<k;i++)
            a[i][i-1]=k+1-i;
    }
};
void add(LL &x,LL y){
    x=(x+y)%MOD;
}
Mat mul(Mat x,Mat y){
    Mat ret;
    for(int i=0;i<k;i++){
        for(int j=0;j<k;j++)
            for(int t=0;t<k;t++)
                add(ret.a[i][j],x.a[i][t] * y.a[t][j]);
    }
    return ret;
}
Mat pow(Mat x,LL cf){
    Mat ret; ret.Unit();
    while(cf){
        if(cf&1) ret=mul(ret,x);
        x=mul(x,x);
        cf>>=1;
    }
    return ret;
}
LL dp[N];
LL solve(){
    Mat a; a.Init(k);
    Mat ret=pow(a,n-1);
    LL rst=0;
    for(int i=0;i<k;i++)
        add(rst,ret.a[i][0] * dp[0]);
    return rst;
}
int main(){
    int tt,cas=1;
    for(cin>>tt;cas<=tt;cas++){
        cin>>n>>k;
        mem(dp,0);
        dp[0]=k+1;
        printf("Case #%d: %lld\n",cas,solve());
    }
    return 0;
}
/*
3
1 2
2 2
3 2
____
3
9
21
*/

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