经典的线性代数的一个核心成就是处理线性方程组的求解问题，然而直到最近该问题才有了更深入的研究和探索，并且得到了一系列更令人振奋的结果。今天主要关心一下欠定线性方程组Ax=b稀疏解的一些相关话题。
针对欠定线性方程组的问题不外乎如下几个：
是否存在稀疏解，该稀疏解是否唯一，能否判断一个解是否是该问题的唯一稀疏解，如何有效地获得这个稀疏解，等等
可以用两个名次来概括上述这些问题：(P0)问题的唯一解(定义为，唯一性）和(P1)问题的唯一解(定义为，等价性)。
针对上述两个命题，已经发展了很多有价值的结果，例如：
(1)借助A的spark的唯一性命题和借助A的mutual coherence的唯一性命题；
(2)MP和BP算法，以及它们与唯一性和等价命题之间的关系，即Trop定理和Donoho定理
(3)一些更有效的优化方法，例如，iteratively reweighed least squares, Lars, homotopy,等等。这些方法均需要小心处理thresholding的问题
(4)Candes-Tao-Romberg定理和Tropp等人的结果；
(5)phase transition问题。
然而有许多问题需要解决，公开的问题如下：
(1)如果A具有一定的structure,能否利用该structure获得更strong的解唯一性和等价性命题；
例如，联合正交矩阵形成的A能否能够允许更多的解支撑，该A能否开发更有效的求解策略；
A结构是否拥有多尺度分解特性，该特性能否充分利用。
(2)贪婪算法和凸优化算法是解决该问题的两种主要策略，然而这些算法对于上述A结构能否拥有相同的performance.
已有的求解随机矩阵等结构的A的贪婪算法的计算性能对于该类A已经missing，为什么？
目前为止已经报道了针对该类A结构的凸优化算法性能，然而对于贪婪算法的研究还没有报道。
(3)更大的需求是开发快速的凸优化方法,研究贪婪算法和凸优化方法共性，开发它们的优势并且开发新的更有效的算法是目前研究的焦点
，也是今后研究的重点。或许，iterated shrinkage method，lasso和LARS算法能够给我们提供更多的启发。
(4)针对特性的A开发更strong的测不准原理应该是一个研究方向，因为mutual coherence是一个最坏的界。
(5)目前的唯一性和等价性命题都是针对所有的b而言的，能否得到与b有关的更strong的唯一性和等价性命题是一个研究内容。
