由二分搜索引出的算法复杂度分析

2024年1月9日 275次阅读

由一个类似于二分搜索的算法引出了对复杂度的分析问题。

想来想去，也不知道如何证明。

这也说明自己对算法的理解不到位的地方，也是如何证明，如何分析复杂度，这里进行一次大补。

如果用主定理的话，又体现不出对算法的深入理解吧。而且算法证明最好不要用主定理，不能体现水平吧。

补充一：

      算法复杂度分为时间复杂度和空间复杂度。对于时间复杂度，可以理解为程序运行的次数 也就是f（n），因此，算法的时间复杂度记做：T（n）=O（f（n））。


首先证明一下二分搜索的复杂度：

     从上面的思路想，由N来说，第一次比较后 N/2 ,第二次比较后为N/4，这也经过K次后停止，此时为N/(2^K)次。

最后一步 所以，N/(2＾Ｋ)　＝　１。

要求执行次数，即Ｋ，则Ｋ　＝　ｌｏｇｎ。

证毕。

至于如何求一个算法的时间复杂度的问题，笔试常考。这里借鉴一下他人的算法分析方法：

 根据定义，可以归纳出基本的计算步骤 
         1. 计算出基本操作的执行次数T(n) 
            基本操作即算法中的每条语句（以;号作为分割），语句的执行次数也叫做语句的频度。在做算法分析时，一般默认为考虑最坏的情况。

         2. 计算出T(n)的数量级 
            求T(n)的数量级，只要将T(n)进行如下一些操作：
            忽略常量、低次幂和最高次幂的系数，令f(n)=T(n)的数量级。

         3. 用大O来表示时间复杂度 
             当n趋近于无穷大时，如果lim(T(n)/f(n))的值为不等于0的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作T(n)=O(f(n))。

记住算法的复杂度一定是与K=f（n）有关的，也就是常量语句的执行次数。


例如：

 int num1, num2;
 for(int i=0; i<n; i++){ 
     num1 += 1;
    for(int j=1; j<=n; j*=2){ 
        num2 += num1;
    }
}

1.

K2 = n+1

K3 = n

k4  =>1 2 4 8 … 2^K4 => 2^k4 = n(n时结束)  所以k4 = log n

K5 = logn

所以总体执行次数T（n） = k2+k3+k2*(k4+k5)= n+1 + n + n*(2 logn) = 2n+1 + n*（2logn）

2.    

         f（n） = 对T（n）做：忽略常量、低次幂和最高次幂的系数，令f(n)=T(n)的数量级。

3.验证

  lim(T(N)/f(n)) = (2n+1 + n*(2logn) ) /  n*(logn)  = 2.

所以复杂度 是 O（f（n））=O(nlogn)


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