Java实现O(nlogn)最长上升子序列

2024年1月22日 154次阅读

问题描述:给出一个序列a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7….an,求它的一个子序列（设为s1,s2,…sn），使得这个子序列满足这样的性质，s1<s2<s3<…<sn并且这个子序列的长度最长。输出这个最长的长度。

O(n^2)算法：

我们依次遍历整个序列，每一次求出从第一个数到当前这个数的最长上升子序列，直至遍历到最后一个数字为止，然后再取dp数组里最大的那个即为整个序列的最长上升子序列。我们用dp[i]来存放序列1-i的最长上升子序列的长度，那么dp[i]=max(dp[j])+1,(j∈[1, i-1]); 显然dp[1]=1,我们从i=2开始遍历后面的元素即可。下面是模板：

int LIS(T a[],int n)
{
    int i,j;
    int ans=1;
    int m=0;
    int *dp=new int[n+1];
    dp[1]=1;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        m=0;
        for(j=1;j<i;j++)
        {
            if(dp[j]>m&&a[j]<a[i])
                m=dp[j];
        }
        dp[i]=m+1;
        if(dp[i]>ans)
            ans=dp[i];
    }
    return ans;
}

O(nlogn)算法：

定义d[k]:长度为k的上升子序列的最末元素，若有多个长度为k的上升子序列，则记录最小的那个最末元素。
注意d中元素是单调递增的，下面要用到这个性质。
首先len = 1,d[1] = a[1],然后对a[i]:若a[i]>d[len]，那么len++，d[len] = a[i];
否则，我们要从d[1]到d[len-1]中找到一个j，满足d[j-1]<a[i]<d[j],则根据D的定义，我们需要更新长度为j的上升子序列的最末元素（使之为最小的）即 d[j] = a[i];
最终答案就是len
利用d的单调性，在查找j的时候可以二分查找，从而时间复杂度为nlogn。

假设存在一个序列d[1..9] = 2 1 5 3 6 4 8 9 7，可以看出来它的LIS长度为5。n
下面一步一步试着找出它。
我们定义一个序列B，然后令 i = 1 to 9 逐个考察这个序列。
此外，我们用一个变量Len来记录现在最长算到多少了

首先，把d[1]有序地放到B里，令B[1] = 2，就是说当只有1一个数字2的时候，长度为1的LIS的最小末尾是2。这时Len=1

然后，把d[2]有序地放到B里，令B[1] = 1，就是说长度为1的LIS的最小末尾是1，d[1]=2已经没用了，很容易理解吧。这时Len=1

接着，d[3] = 5，d[3]>B[1]，所以令B[1+1]=B[2]=d[3]=5，就是说长度为2的LIS的最小末尾是5，很容易理解吧。这时候B[1..2] = 1, 5，Len＝2

再来，d[4] = 3，它正好加在1,5之间，放在1的位置显然不合适，因为1小于3，长度为1的LIS最小末尾应该是1，这样很容易推知，长度为2的LIS最小末尾是3，于是可以把5淘汰掉，这时候B[1..2] = 1, 3，Len = 2

继续，d[5] = 6，它在3后面，因为B[2] = 3, 而6在3后面，于是很容易可以推知B[3] = 6, 这时B[1..3] = 1, 3, 6，还是很容易理解吧？ Len = 3 了噢。

第6个, d[6] = 4，你看它在3和6之间，于是我们就可以把6替换掉，得到B[3] = 4。B[1..3] = 1, 3, 4， Len继续等于3

第7个, d[7] = 8，它很大，比4大，嗯。于是B[4] = 8。Len变成4了

第8个, d[8] = 9，得到B[5] = 9，嗯。Len继续增大，到5了。

最后一个, d[9] = 7，它在B[3] = 4和B[4] = 8之间，所以我们知道，最新的B[4] =7，B[1..5] = 1, 3, 4, 7, 9，Len = 5。

于是我们知道了LIS的长度为5。

注意。这个1,3,4,7,9不是LIS（LIS为1，3，4，8，9），它只是存储的对应长度LIS的最小末尾。虽然最后一个d[9] = 7更新进去对于这组数据没有什么意义，但是如果后面再出现两个数字 8 和 9，那么就可以把8更新到d[5], 9更新到d[6]，得出LIS的长度为6。

利用杭电ACM上的题目来检验自己的代码：
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1950 该题的大意就是从426315（只看图的右边）这种序列中找到最长上升序列，由于不会出现13534这种种含有重复数字的，因此对二分部分就算有边界错误的情况也能AC，但是还是要注意我们要找的应该是第一个大于当前要插入的数的数。

import java.util.Scanner;


public class Main {
	public static void main(String[] args) {
		int i,j,n,p,len,index;
		int[] dp = null,arr = null;
		Scanner sc=new Scanner(System.in);
		n=sc.nextInt();
		for(i=1;i<=n;i++){
			len=0;
			p=sc.nextInt();
			dp=new int[p+1];
			arr=new int[p+1];
			for(j=1;j<=p;j++){
				arr[j]=sc.nextInt();
			}
			dp[++len]=arr[1];
			for(j=2;j<=p;j++){
				if(arr[j]>dp[len]){
					dp[++len]=arr[j];
				}
				index=bsearch(dp,arr[j],1,len);
				dp[index]=arr[j];
			}
			System.out.println(len);
		}
	}

	private static int bsearch(int[] dp, int value,int start,int end) {
		int mid;
		while(start<end){
			mid=(start+end)/2;
			if(dp[mid]>value){
				end=mid;
			}
			else{
				start=mid+1;
			}
		}
		return start;
	}
}
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