Hoeffding霍夫丁不等式

在< >第八章”集成学习”部分, 考虑二分类问题 \(y \in \{-1, +1\}\) 和真实函数 \(f\), 假定基分类器的错误率为 \(\epsilon\), 即对每个基分类器 \(h_{i}\)有
\[ \begin{equation} P(h_{i}(x) \neq f(x)) = \epsilon \end{equation} \]
假设集成通过简单投票法结合 \(T\)个基分类器, 若有超过半数的基分类器正确, 则集成分类就正确:

\[ \begin{equation} H(x) = sign(\sum_{i=1}^{T}h_{i}(x)) \end{equation} \]
假设基分类器的错误率相互独立, 则由Hoeffding不等式可知, 集成的错误率为:
\[ \begin{equation} \begin{aligned} P(H(x) \neq f(x)) &= \sum_{k=0}^{\lfloor T/2 \rfloor}{T \choose k}(1 – \epsilon)^{k}\epsilon^{T – k}\\ &\leq exp(-\frac{1}{2}T(1 – 2\epsilon)^{2}) \end{aligned} \end{equation} \]
对怎么得到小于等于之后的式子不甚明白.

维基百科上Hoeffding不等式的介绍是:

Hoeffding不等式适用于有界的随机变量. 设有两两独立的一系列随机变量\(X_{1}, …, X_{n}\). 假设对所有的\(1\le i \le n\), \(X_{i}\)都是几乎有界的变量, 即满足:
\[ \begin{equation} \mathbb{P}(X_{i} \in [a_{i},b_{i}]) = 1. \end{equation} \]
那么这n个随机变量的经验期望:
\[ \begin{equation} \overline{X} = \frac{X_{1}+\cdot\cdot\cdot+X_{n}}{n} \end{equation} \]
满足以下的不等式:
\[ \begin{equation} \mathbb{P}(\overline{X}-\mathbb{E}[\overline{X}]\ge t) \le exp\left(-\frac{2t^{2}n^{2}}{\sum_{i=1}^{n}(b_i-a_i)^2}\right) \end{equation} \]
\[ \begin{equation} \mathbb{P}(\lvert \overline{X}-\mathbb{E}[\overline{X}]\rvert \ge t) \le 2exp \left(-\frac{2t^2n^2}{\sum_{i=1}^n(b_i-a_i)^2} \right) \end{equation} \]

先记这些定义吧, 证明以后有兴趣再看吧….

伯努利随机变量的特例

假定一个硬币A面朝上的概率为\(p\), 则B面朝上的概率为\(1-p\). 抛n次硬币, A面朝上次数的期望值为\(n * p\). 则A面朝上的次数不超过k次的概率为:
\[ \begin{equation} \begin{aligned} P(H(n) \le k)&=\sum_{i=0}^kC_n^ip^i(1-p)^{n-i}\\ &=\sum_{i=0}^k\frac{n!}{i!(n-i)!}p^i(1-p)^{n-i} \end{aligned} \end{equation} \]
\(H(n)\)为抛n次硬币A面朝上的次数

对某一\(\varepsilon > 0\)当\(k=(p-\varepsilon)n\) 时, 有Hoeffding不等式
\[ \begin{equation} P(H(n)\le(p-\varepsilon)n)\le e^{-2\varepsilon ^2n} \end{equation} \]
对应的, 当\(k=(p+\varepsilon)n\) 时,
\[ \begin{equation} P(H(n)\ge(p+\varepsilon)n)\le e^{-2\varepsilon ^2n} \end{equation} \]
由此可得
\[ \begin{equation} P((p-\varepsilon)n \le H(n) \le (p + \varepsilon)n) \ge 1-2e^{-2\varepsilon^2n} \end{equation} \]
利用式(9)可推式(3)

式(3)的\(1-\epsilon\) 相当于式(9)的\(p\) , 令\(H(n)\)为基分类器分类正确的数量, 有
\[ \begin{equation} P(H(x)\neq f(x))=P(H(n) \le \lfloor\frac{T}{2}\rfloor) \end{equation} \]
总分类器的数量为\(T\)(就是n), 令\(\frac{T}{2}=(1-\epsilon-\varepsilon)T\), 可推得\(\varepsilon=\frac{1}{2} – \epsilon\) , 根据式(9)可得
\[ \begin{equation} \begin{aligned} P(H(n) \le \lfloor\frac{T}{2}\rfloor) &\le exp(-2(\epsilon-\frac{1}{2})^2T)\\ &=exp(-2(\epsilon^2+\frac{1}{4}-\epsilon)T)\\ &=exp(-\frac{T}{2}(4\epsilon^2+1-4\epsilon))\\ &=exp(-\frac{1}{2}T(1 – 2\epsilon)^{2}) \end{aligned} \end{equation} \]

便得到式(3)得最终不等式形式