CCF 201703-4 地铁修建
问题描述
A市有n个交通枢纽，其中1号和n号非常重要，为了加强运输能力，A市决定在1号到n号枢纽间修建一条地铁。
地铁由很多段隧道组成，每段隧道连接两个交通枢纽。经过勘探，有m段隧道作为候选，两个交通枢纽之间最多只有一条候选的隧道，没有隧道两端连接着同一个交通枢纽。
现在有n家隧道施工的公司，每段候选的隧道只能由一个公司施工，每家公司施工需要的天数一致。而每家公司最多只能修建一条候选隧道。所有公司同时开始施工。
作为项目负责人，你获得了候选隧道的信息，现在你可以按自己的想法选择一部分隧道进行施工，请问修建整条地铁最少需要多少天。
输入格式
输入的第一行包含两个整数n, m，用一个空格分隔，分别表示交通枢纽的数量和候选隧道的数量。
第2行到第m+1行，每行包含三个整数a, b, c，表示枢纽a和枢纽b之间可以修建一条隧道，需要的时间为c天。
输出格式
输出一个整数，修建整条地铁线路最少需要的天数。
样例输入
6 6
1 2 4
2 3 4
3 6 7
1 4 2
4 5 5
5 6 6
样例输出
6
样例说明
可以修建的线路有两种。
第一种经过的枢纽依次为1, 2, 3, 6，所需要的时间分别是4, 4, 7，则整条地铁线需要7天修完；
第二种经过的枢纽依次为1, 4, 5, 6，所需要的时间分别是2, 5, 6，则整条地铁线需要6天修完。
第二种方案所用的天数更少。
评测用例规模与约定
对于20%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ m ≤ 20；
对于40%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 1000；
对于60%的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 10000，1 ≤ c ≤ 1000；
对于80%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10000，1 ≤ m ≤ 100000；
对于100%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100000，1 ≤ m ≤ 200000，1 ≤ a, b ≤ n，1 ≤ c ≤ 1000000。
所有评测用例保证在所有候选隧道都修通时1号枢纽可以通过隧道到达其他所有枢纽。
【题意】
求“修建整条地铁线路最少需要的天数”，即求解从起点到终点这条路径下各个连通节点之间的最长边。
【类型】
Dijkstra算法变形
【分析】
可套用Dijkstra算法，只不过将松弛操作改为最长边。本题中我们用Dijkstra算法不是要得到最短路径，而是要得到从起点到终点这条路径下各个连通节点之间的最长边。
将松弛操作改为最长边的代码：
if(d[e.to]>max(d[u],e.dist)){ //更改松弛策略为求最长的边，而不是求边的和
d[e.to]=max(d[u],e.dist);
q.push(HeapNode(d[e.to],e.to));//添加节点y
}【注意】
１、切记：nmax节点数量的最大值要记得改！！！本题中n的最大值为10000,十万啊！
做上一个CCF 201609-4 交通规划的时候n的最大值为10000,一万，这次又多了个０ ，为十万！
提交了好多次才发现这个问题！不然一直得80分运行错误！
【时间复杂度&&优化】
O(nlog n)
#include <iostream>
#include <queue>
#include <vector>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <climits>
const int nmax=100000+100;
//#define INF 1e8
const int INF=INT_MAX;
int n,m;
using namespace std;
struct HeapNode{
int d,u;//d为s到各个节点的距离,u为起点
HeapNode(){}
HeapNode(int d,int u):d(d),u(u){}
bool operator <(const HeapNode &rhs)const{//自定义greater算子，优先输出d小的节点
return d>rhs.d;
}
};
struct Edge{
int from,to,dist;
Edge(){}
Edge(int f,int t,int d):from(f),to(t),dist(d){}
};
struct Dijkstra{
int n,m; //n为点数,m为边数
vector<Edge> edges;//边列表,存储各边的编号
vector<int>G[nmax];//邻接表,存储每个节点出发的边编号(从0开始编号)，G[u][i]为起点u到节点i的边的编号
bool done[nmax];//是否已永久标号
int d[nmax];//源点s到各个节点的距离,id[i]为源点s到节点i的距离
int p[nmax];//最短路中的上一条弧,p[i]为源点s到节点i的最短路中的最后一条边的编号
Dijkstra(){} //记得写个空的构造函数，要不然DJ会报错
void init(int n){
this->n=n;
for(int i=0;i<n;i++){
G[i].clear();//清空邻接表
}
edges.clear();//清空边列表
}
void AddEdge(int from,int to,int dist){//如果是无向图,每条无向边调用两次AddEdge
edges.push_back(Edge(from,to,dist));//边列表增加一条边
m=edges.size();//边列表中有几条边
G[from].push_back(m-1);//邻接表中的节点数目(下标从0开始)
}
void dijkstra(int s){//求源点０到其他节点的最短路径
for(int i=0;i<n;i++) {
d[i]=INF;
}
d[s]=0;//记得源点从0开始,不是1开始
//本题中，源点为节点０
memset(done,0, sizeof(done));
priority_queue<HeapNode>q;
q.push(HeapNode(d[s],0));//本题中优先队列初始化的节点为HeapNode(d[0],0)
while(!q.empty()){
//在所有未标号的节点中，选出d值最小的节点
HeapNode x=q.top();//找到d值最大的节点
q.pop();//弹出队头
int u=x.u;//得到d值最大的节点的起点
//给节点x标记
if(done[u]) continue; //如果当前节点已经标号，则continue
done[u]=1; //若未标号，则标记
//遍历从x出发的所有边(x,y),更新d[y]=min{d[y],d[x]+w[x,y]}
for(int i=0;i<G[u].size();i++){
Edge& e=edges[G[u][i]];//得到从u起点出发到i节点的一条边e
if(d[e.to]>max(d[u],e.dist)){ //更改松弛策略为求最长的边，而不是求边的和
d[e.to]=max(d[u],e.dist);
q.push(HeapNode(d[e.to],e.to));//添加节点y
}
}
}
}
}DJ;
int main() {
while(scanf("%d%d",&n,&m)==2){//输入节点数
DJ.init(n);//切记要初始化，清空边列表和邻接表
while(m--) {
int u,v,d;
scanf("%d%d%d",&u,&v,&d);//输入节点是从1开始的
u--;v--;//记得把输入节点调整成0开始的
DJ.AddEdge(u,v,d);
DJ.AddEdge(v,u,d);
}
DJ.dijkstra(0);
printf("%d\n",DJ.d[n-1]);//得到节点０到节点n-1的路径上的最长边
}
return 0;
}
