动态规划-重叠子问题

flyfish 2015-8-23

名词解释
重叠子问题 overlapping subproblems

动态规划策略将问题分解为一个或者多个子问题

重叠子问题是一个递归解决方案里包含的子问题虽然很多，但不同子问题很少。少量的子问题被重复解决很多次。

例如LCS(最长公共子序列)问题，给定两个序列X和Y，长度分别是m和n,穷举子问题是指数级的，而不同子问题的数量只是mn.

a recurisive algorithn for the problem solves the same subproblems over and over,rather than always generating new subproblems.
用来解原问题的递归算法可以反复地解同样的子问题，而不是总在产生新的子问题。

over and over 反复，再三
rather than 而不是；宁可…也不愿

When a recursive algorithm revisits the same problems repeatedly,we say that the optimization problem has overlapping subproblems.
当一个递归算法不断地调用同一问题时，我们说该最优问题包含重叠子问题

revisit 英 [riː’vɪzɪt] 美 [ri’vɪzɪt]
vt. 重游；再访；重临
n. 再访问

repeatedly 英 [rɪ’piːtɪdlɪ] 美 [rɪ’pitɪdli]
adv. 反复地；再三地；屡次地

In contrast, a problem for which a divide-and-conquer approach is suitalbe usually generates brand-new problems at each step of the recursion.
相反地，适用于分治法解决问题往往在递归的每一个步上都产生全新的问题。

contrast英 [‘kɒntrɑːst] 美 [‘kɑntræst]
vi. 对比；形成对照
vt. 使对比；使与…对照
n. 对比；差别；对照物

divide-and-conquer
分治法

approach 英 [ə’prəʊtʃ] 美 [ə’protʃ]
n. 方法；途径；接近
vt. 接近；着手处理
vi. 靠近

suitable 英 [‘suːtəb(ə)l] 美 [‘sutəbl]
adj. 适当的；相配的

brand-new
adj. 崭新的；最近获得的

brand 英 [brænd] 美 [brænd]
vt. 铭刻于，铭记；打烙印于；印…商标于
n. 商标，牌子；烙印

以斐波那契数列为例说明

斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13
从第3个数开始，每个数都是前面两个数之和。
测试时 输入的 n>=3,但也不要太大，防止溢出。
递归式

Consider again the recursive function for computing the nth Fibonacii number
.
再次考虑使用递归函数计算第n个斐波那契数。

    int Fibonacci(int n)
    {
        if( (1==n) || (2==n) )
        return 1;

        return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);     
    }

调用 Fibonacci(7)；

存表方式
动态规划算法总是充分利用重叠子问题，即通过每个子问题只解一次，把解保存在一个需要时就可以查看的表中，而每次查表的时间为常数。
Dynamic-programming algorithms typically take advantage of overlapping subproblems by solving each subproblem once and then storing the solution in a table where it can be looked up when needed, using constant time per lookup.

typically 英 [‘tɪpɪkəlɪ] 美 [‘tɪpɪkli]
adv. 代表性地；作为特色地，典型地

take advantage of
利用

    int Fibonacci(int n,int* Values)
    {
        if(n<=2)
        return 1;

        Values[n]=Fibonacci(n-1,Values) + Fibonacci(n-2,Values);

        return  Values[n];  
    }

调用
int Values[8]={0,0,0,0,0,0,0,0};
Fibonacci(7,Values); 

不需要表存储所有值，只存储前两个值

int Fibonacci(int n)
    {
        long past,prev,curr;
        past=prev=curr=1;

        for(int i=3;i<=n;i++)
        {
            past=prev;      // past holds Fibonacci(i-2)
            prev=curr;      // past holds Fibonacci(i-1)
            curr=past+prev; // current now Fibonacciholds (i)
        }
        return curr;

    }


调用 Fibonacci(7)；