问题描述：

有一个有非负整数组成的三角形，第一行只有一个数，除了最下行之外的每个数的左下方和右下方各有一个数。如下图：

从第一行的数字开始每次可以向左走或者向右走，直到走到最下行，把沿途经过的所有数字全部加起来，如何走才能使这个和最大？

1.        回溯法：可以求出所有的路线，然后从所有的路线中选择最好的，但是效率太低。

2.        动态规划：

1)        把当前的位置(i,j)看成一个状态，定义状态(i,j)的指标函数d(i,j)为从(i,j)出发时能得到的最大和（包括(i,j)本身的值）。原问题的解是：d(1,1)。

2)        状态转移：d(i,j)=a(i,j)+max{d(i+1,j),d(i+1,j+1)}.

3)        递归程序实现：程序简洁，但是效率低，因为存在大量重复计算的节点。

int solve(int i,int j)

{

   return a[i][j]+(i==n? 0 : max(solve(i+1,j),solve(i+1,j+1)));

}

4)        递推程序实现：时间复杂度为O(n^2)，最下面一行单独处理后，从下至上逆序枚举每一行。

int i,j;

for(j=1;j<=n;j++)

{

   d[n][j]=a[n][j];

}

for(i=n-1;i>=1;i–)

{

   for(j=1;j<=i;j++)

    {

       d[i][j]=a[i][j]+max(d[i+1][j],d[i+1][j+1]);//d[i+1][j],d[i+1][j+1]已经先于d[i][j]计算出

    }

}

5)        记忆化搜索：不必事先确定各状态的计算顺序，但需要记录每个状态“是否计算过”。

memset(d,-1,sizeof(d));

int solve(int i,int j)

{

   if(d[i][j]>=0)

    {

       return d[i][j];

    }

   return d[i][j]=a[i][j]+(i==n ? 0 : max(solve(i+1,j), solve(i+1,j+1)) );

}

程序依然是递归的，但是能避免重复访问节点。因为所有的数字非负，那么已经算出的结点就应该是非负的，首先清空状态函数为-1，若不小于0，那么不用再计算。