首先声明！鉴于之前有一段时间经常有朋友问我一些DP的问题，趁着现在有点时间，我在网上找了很多关于DP的资料，也希望大家可以通过这篇文章有一些收获！
引入问题：现在我有1块，3块，5块的硬币，假设我要凑成n块，那么我要怎么凑硬币，才能够保证凑成n块钱，并且硬币数目是最少的？
对于没有DP概念的读者们来说，第一想到的办法要么是贪心法（暴力破解），要么就是回溯法。但是使用贪心法每次达到局部最优解，但是出现的后果是可能求不出结果。why？
只要我将问题中的1块钱改成2块钱，将n块钱量化成9块钱，那么使用贪心法的读者就已经无法求出答案了。使用贪心法无法求解的最大原因
（1）贪心策略是由上一步的最优解推导下一步的最优解，而上一部之前的最优解则不作保留
（2）贪心法正确的条件是：每一步的最优解一定包含上一步的最优解
回溯法是可以求解这个问题，但是他的时间复杂度会比动态规划大很多，而且多了很多没有必要的运算步骤。
那么，动态规划应运而生！通过每次的最优决策，记录每一次的状态的变化，从而达到整体上的最优。对于硬币问题的动态规划求解，我将会在硬币问题文章中进行全面分析！欢迎读者观看。
对于初学者，对于动态规划肯定有很多疑惑，疑惑主要归结为下面几点。
动态规划算法：
(1)、全局最优解中一定包含某个局部最优解，但不一定包含前一个局部最优解，因此需要记录之前的所有最优解；
(2)、动态规划的关键是状态转移方程，即如何由以求出的局部最优解来推导全局最优解；
(3)、边界条件：即最简单的，可以直接得出的局部最优解。
第一：什么是动态规划(dynamic programming)？
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。（注：引用百度百科关于动态规划的概念解释）
第二：动态规划的用途是什么？
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划(如线性规划、非线性规划)，只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
通过使用动态规划解决的相关问题：
线性动规：拦截导弹，合唱队形，挖地雷，建学校，剑客决斗等；
区域动规：石子合并，加分二叉树，统计单词个数，炮兵布阵等；
树形动规：贪吃的九头龙，二分查找树，聚会的欢乐，数字三角形等；
背包问题：01背包问题，完全背包问题，分组背包问题，二维背包，装箱问题，挤牛奶（同济ACM第1132题）等；
第三：如何使用动态规划？
对于分析问题是否应该使用动态规划，首先要满足以下的条件
（1）、最优化原理：如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，就称该问题具有最优子结构，即满足最优化原理；
（2）、无后效性：即某阶段状态一旦确定，就不受这个状态以后决策的影响。也就是说，某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关；
（3）、有重叠子问题：即子问题之间是不独立的，一个子问题在下一阶段决策中可能被多次使用到（该性质并不是动态规划适用的必要条件，但是如果没有这条性质，动态规划算法同其他算法相比就不具备优势）。
动态规划的本质，就是对问题状态的定义和状态转移方程的定义。
定义
从第一阶段S1开始到最后阶段Sn状态为止，将每个阶段的决策uk(Sk)（ k=1,2,…,n）连接起来所构成的决策序列称为策略或全策略，记为
P1,n(S1)=｛u1(S1)，u2(S2)…uk(Sk)…un(Sn)｝
如果不是从S1状态开始，而是从第k阶段的Sk状态开始，至最后阶段Sn状态为止，则将由Sk状态开始至Sn状态为止的策略序列称为后部子策略，记为
Pk,n(Sk)=｛uk(Sk)，uk+1(Sk+1)……un(Sn)｝
可见，它是策略P1,n(S1)的一个子策略，且是后部的子策略。
状态转移方程
由于系统处于Sk状态，通过决策uk（Sk），进入Sk+1状态，描述系统由Sk状态向Sk+1状态转移的方程叫状态转移方程，显然有
Sk+1=T(Sk，uk)
（由于每个动态规划的策略都有小差别，所以状态转移方程无法具体，只能有一个抽象的公式）
